Question

我們把弧長等于半徑的扇形叫等邊扇形．如圖，扇形OAB是等邊扇形，設(shè)OA=R，下列結(jié)論中：①∠AOB=60°；②扇形的周長為3R；③扇形的面積為；④點(diǎn)A與半徑OB中點(diǎn)的連線垂直O(jiān)B；⑤設(shè)OA、OB的垂直平分線交于點(diǎn)P，以P為圓心，PA為半徑作圓，則該圓一定會(huì)經(jīng)過扇形的弧AB的中點(diǎn)．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)弧長的計(jì)算公式判斷①錯(cuò)誤；
根據(jù)扇形的周長定義判斷②正確；
根據(jù)S_扇形=lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）判斷③正確；
先由等邊扇形的定義得出AB＜OA，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AM與OB不垂直，判斷④錯(cuò)誤；
由線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形兩邊之和大于第三邊得出OP=PA＞OA，又OA=OC，OP+PC=OC，則PC＜OC＜OP=AP，即PC＜圓P的半徑，判斷⑤錯(cuò)誤．
解答：解：①設(shè)∠AOB=n°，
∵OA=OB==R，
∴R=，
∴n=＜60，故①錯(cuò)誤；

②扇形的周長為：OA+OB+=R+R+R=3R，故②正確；

③扇形的面積為：•OA=R•R=，故③正確；

④如圖，設(shè)半徑OB的中點(diǎn)為M，連接AM．
∵OA=OB==R，
∴AB＜R=OA，
∵OM=MB，
∴AM與OB不垂直，故④錯(cuò)誤；

⑤如圖，設(shè)弧AB的中點(diǎn)為C．
∵OP=PA＞OA，
∵OA=OC，
∴OP＞OC，
∵OP+PC=OC，
∴PC＜OC＜OP=AP，
即PC＜圓P的半徑，
∴以P為圓心，PA為半徑作圓，則該圓一定不會(huì)經(jīng)過扇形的弧AB的中點(diǎn)C．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長的計(jì)算，扇形的周長與面積，等腰三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，三點(diǎn)共圓的條件，綜合性較強(qiáng)，難度適中．