Question

13．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}x+m$的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連AB、AC，點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合）過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M．
（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△AMN面積等于3時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理及逆定理，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得$\frac{AM}{MN}$=$\frac{BO}{OA}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)BN與AN的關(guān)系，可得n，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，等量代換，可得，$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$，可得MD，根據(jù)面積的和差，可得n的值，可得答案．

解答 解：（1）∵圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），
∴m=4．把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a=-$\frac{1}{4}$．
二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，解得x=8，x=-2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0）．
∴AB²=BO²+AO²=20，AC²=AO²+OC²=80．
∵BC²=（BO+OC）²=100，
在△ABC中，AB²+AC²=BC²．
∴△ABC是直角三角形；
（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，
∵∠AOB=∠NMA=90°，
∴有兩種情況．
①當(dāng)$\frac{AM}{MN}$=$\frac{BO}{OA}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，易得∠BAO=∠ANM=∠BNM．
∴NB=NA，
∴BN²=NA²，
即（n+2）²=n²+4²，解得n=3，此時(shí)N（3，0），
②當(dāng)$\frac{AM}{MN}$=$\frac{OA}{BO}$=2時(shí)，d點(diǎn)N與原點(diǎn)O重合，
∴此時(shí)N（0，0）．
（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），-2＜n＜8，則BN=n+2，
過(guò)M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，，
∵M(jìn)D∥OA，∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{AO}$．
∵M(jìn)N∥AC，$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$．
∵OA=4，BC=10，BN=n+2，
∴MD=$\frac{2}{5}$（n+2）．
∵S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN=-$\frac{1}{5}$（n-3）²+5=3，
解得n=3$±\sqrt{10}$，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3+$\sqrt{10}$，0）（3-$\sqrt{10}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的性質(zhì)得出BN與AN的關(guān)系是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出MD的值是解題關(guān)鍵，又利用了面積的和差得出N的值．