Question

【題目】已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：

（1）如圖1，將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA,OB交于點C，D．

①比較大小：PC______PD． (選擇“>”或“<”或“=”填空）；

②證明①中的結論．

（2）將三角板的直角頂點P在射線ＯＭ上移動，一直角邊與邊OA交于點C，且OC=1，另一直角邊與直線OB，直線OA分別交于點D，E，當以P，C，E為頂點的三角形與△OCD相似時，試求的長．（提示：請先在備用圖中畫出相應的圖形，再求的長）.

Answer 1

【答案】（1）①PC=PD;②證明見解析；（2）OP=1或OP=．

【解析】

試題（1）①PC=PD;②過P作PH⊥OA，PN⊥OB，再證△PCH≌△PDN，即可；

（2）分兩種情況進行討論：①若PD與邊OB相交；②PD與邊OB的反向延長線相交．

試題解析：（1）①PC=PD;

②過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90°，

∴∠HPC+∠CPN=90°

∵∠CPN+∠NPD=90°,

∴∠HPC=∠NPD,

∵OM是∠AOB的平分線,

∴PH=PN.

又∵∠PHC=∠PND=90°

∴△PCH≌△PDN，

∴PC=PD;

(2)①若PD與邊OB相交

∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE＝∠DOC=90°

∴由△PCE與△OCD相似可得∠PEC=∠DCO

∴DE=CD，而DO⊥OC，

∴OE="OC=1"

∴OP為Rt△CPE斜邊上的中線

∴OP=EC="OC=1" ;

②若PD與邊OB的反向延長線相交， 過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N， 則PH=PN

∵△PCE與△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE＝∠DOC=90°

∴∠PCE=∠OCD

又∵∠PCO＋∠PEC=90°,∠PDO +∠OED =90°,

且∠PEC＝∠OED，∴∠PDO=∠PCO.

而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND（A.A.S）.

∴HC=ND，PC=PD， ∴∠PCD= ∠PDC =45°，

∴∠PCO=∠DCO=∠PDO =22.5°

又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°,

∴∠ODP=∠OPD=22.5°

∴OP=OD,

設OP=x，則HC=OC－OH=，

而DN=DO＋ON=OP+ON=， ∴，

∴，即OP=，

綜上所述，滿足條件的OP=1或OP=．