Question

如圖所示，已知邊長為2的正三角形ABC中，P₀是BC邊的中點，一束光線自P₀發(fā)出射到AC上的P₁后，依次反射到AB、BC上的點P₂和P₃，且1＜BP₃＜

3

2

（反射角等于入射角），則P₁C的取值范圍是

1＜P₁C＜

7

6

．

Answer 1

分析：首先利用光的反射定律及等邊三角形的性質證明△P₀P₁C∽△P₂P₁A∽△P₂P₃B，再根據相似三角形對應邊成比例得到用含P₃B的代數(shù)式表示P₁C的式子，然后由
1＜BP₃＜

3

2

，即可求出P₁C長的取值范圍．

解答：解：∵反射角等于入射角，
∴∠P₀P₁C=∠P₂P₁A=∠P₂P₃B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P₀P₁C∽△P₂P₁A∽△P₂P₃B，
∴

P0C

P1C

=

P2A

P1A

=

P2B

P3B

，
設P₁C=x，P₂A=y，則P₁A=2-x，P₂B=2-y．
∴

1

x

=

y

2-x

=

2-y

P3B

，
∴

xy=2-x 2x-xy=P3B

，
∴x=

1

3

（2+P₃B）．
又∵1＜BP₃＜

3

2

，
∴1＜x＜

7

6

，
即P₁C長的取值范圍是：1＜P₁C＜

7

6

．
故答案為1＜P₁C＜

7

6

．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質，在解題時要根據等邊三角形的性質找出對應點是解此題的關鍵，難度較大．