Question

如圖所示，已知邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC，點(diǎn)F在邊BC上，CF=1，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，直線EG，F(xiàn)G交直線AC于點(diǎn)M，N，
（1）寫出圖中與△BEF相似的三角形；
（2）證明其中一對(duì)三角形相似；
（3）設(shè)BE=x，MN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）若AE=1，試求△GMN的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC與△EFG都是正三角形，所以它們的內(nèi)角都是60°，相等，再結(jié)合平角等于180°，可以找出另外的相關(guān)的兩個(gè)角的和等于120°，然后即可確定出圖中所有相似的三角形；
（2）只要證明另外和等于120°的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即可利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)E的位置以及BE的長(zhǎng)度都不確定，所以分（i）點(diǎn)E在線段AB上且點(diǎn)MN都在線段AC上；（ii）點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)G在△ABC內(nèi)；（iii）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，三種情況進(jìn)行討論；
（4）AE=1，而點(diǎn)E的位置不確定，所以要分兩種情況進(jìn)行討論求解，（i）在線段AB上，則△GMN是邊長(zhǎng)為1的正三角形；（ii）在射線BA上，則△GMN是有一個(gè)角是30°的直角，分別求出兩直角邊，面積可求．

解答：解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；（3分）

證明：（2）在△BEF與△AME中，
∵∠B=∠A=60°，
∴∠AEM+∠AME=120°，（1分）
∵∠GEF=60°，
∴∠AEM+∠BEF=120°，
∴∠BEF=∠AME，（1分）
∴△BEF∽△AME；（1分）


解：（3）（i）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)M、N在線段AC上時(shí)，如圖，
∵△BEF∽△AME，
∴BE：AM=BF：AE，
即：x：AM=2：（3-x），
∴AM=

-x2+3x

2

，
同理可證△BEF∽△CFN；
∴BE：CF=BF：CN，
即：x：1=2：CN，
∴CN=

2

x

，
∵AC=AM+MN+CN，
∴3=

-x2+3x

2

+y+

2

x

，
∴y=

x3-3x2+6x-4

2x

（1≤x≤3）；
（ii）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)G在△ABC內(nèi)時(shí)，如備用圖一，
同上可得：AM=

-x2+3x

2

，CN=

2

x

，
∵AC=AM+CN-MN，
∴3=

-x2+3x

2

+

2

x

-y，
∴y=-

x3-3x2+6x-4

2x

（0＜x≤1）；
（iii）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如備用圖二，
AM=

x2-3x

2

，CN=

2

x

，
∵AC=MN+CN-AM，
∴3=y+

2

x

-

x2-3x

2

，
∴y=

x3-3x2+6x-4

2x

（x＞3）；
綜上所述：y=-

x3-3x2+6x-4

2x

（0＜x≤1），
或∴y=

x3-3x2+6x-4

2x

（x≥1）；

（4）（i）當(dāng)AE=1時(shí)，△GMN是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，
∴S_△GMN=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

；（1分）
（ii）當(dāng)AE=1時(shí)，△GMN是有一個(gè)角為30°的Rt△，
∵x=4，
∴y=

43-3 ×42+6×4-4

2×4

=

9

2

，NG=FG-FN=4×

3

2

-1×

3

2

=

3 3

2

，
∴S_△GMN=

1

2

×

3 3

2

×

9

2

=

27 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，本題難點(diǎn)在于點(diǎn)E的位置不確定，要分情況進(jìn)行討論，綜合性較強(qiáng)，難度較大．