Question

【題目】（8分）如圖，AC是ABCD的一條對(duì)角線，過AC中點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFCE是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）參見解析；（2）EF⊥AC時(shí)，四邊形AFCE是菱形．

【解析】

試題（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用對(duì)頂角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中點(diǎn)，OA=OC，所以由ASA即可得出結(jié)論；（2）此題應(yīng)用菱形的判定，先說明四邊形AFCE已經(jīng)是平行四邊形，再應(yīng)用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可．由△AOE≌△COF，得出對(duì)應(yīng)邊相等AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由對(duì)角線EF⊥AC，即可得出四邊形AFCE是菱形．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵O是CA的中點(diǎn)，∴OA=OC，又∵∠AOE=∠COF（對(duì)頂角相等），∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），當(dāng)EF⊥AC時(shí)四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形），∴EF⊥AC時(shí)，四邊形AFCE是菱形．