Question

【題目】正方形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，且，交于，延長(zhǎng)交于．

（1）求證：；

（2）已知如圖（2），為上一點(diǎn)，連接，并將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，為的中點(diǎn)，連接，試求出．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）過點(diǎn)P作PF⊥CD于F點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E點(diǎn)，得到四邊形CFPE是正方形，證明△PME≌△PDF，得到ME=DF，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解；

（2）過Q點(diǎn)作QM⊥CD，延長(zhǎng)DH交QM于E點(diǎn)，過E點(diǎn)作FN⊥BC交BC于F點(diǎn)，交AD于N點(diǎn)，連接DG，根據(jù)題意證明四邊形ENDM是正方形，DE是對(duì)角線，過H點(diǎn)作HP⊥AD，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到AQ=2HP，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DH=HP，故可求出的值．

（1）過點(diǎn)P作PF⊥CD于F點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E點(diǎn)，

∵∠ECF=90°

∴四邊形CFPE是矩形

∵為對(duì)角線上一點(diǎn)，

∴CP平分∠ECF

∴EP=FP

∴矩形CFPE是正方形

∴

∵

∴∠MPF+∠FPD=90°

∵∠MPF+∠MPE=90°

∴∠EPM=∠FPD

又∵EP=FP，∠PEM=∠PFD=90°

∴△PME≌△PDF

∴ME=DF

∴==CE+CF

∵PC=

∴CE=

∴；

（2）過Q點(diǎn)作QM⊥CD，延長(zhǎng)DH交QM于E點(diǎn)，過E點(diǎn)作FN⊥BC交BC于F點(diǎn)，交AD于N點(diǎn)，

∴四邊形EFBQ是矩形，四邊形ENDM是矩形，

連接DG，

∵逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

∴CQ=CG，CQ⊥CG

∴∠QCD+∠DCG=90°

∵∠QCD+∠BCQ=90°

∴∠BCQ=∠DCG

又∵BC=DC，CQ=CG

∴△BCQ≌△DCG，∠CDG =∠CBQ=90°

∴A,D,G在同一直線上，

∴DG=BQ,

∵M(jìn)Q⊥CD,AG⊥CD

∴QM∥AG

∴∠EQH=∠DGH,

∵H是GQ的中點(diǎn)，

∴HQ=HG

又∵∠EHQ=∠DHG,

∴△EHQ≌△DHG，

∴EQ=DG

∴BQ=EQ

∴矩形EFBQ是正方形

∴EF=EQ

∴MQ-EQ=FN-EF

∴EM=EN

∴矩形ENDM是正方形，

∴DE是正方形ENDM的對(duì)角線，

過H點(diǎn)作HP⊥AG，

∵H點(diǎn)是HG的中點(diǎn)，∠QAG=90°

∴P點(diǎn)是AG中點(diǎn)，

∴AQ=2HP

∵△HDP是等腰直角三角形，HP=DP

∴DH=

∴=．