Question

已知一個矩形紙片OABC，其中OA=2，OC=4，如圖，將該矩形紙片放置在平面直角坐標系中，邊OA與OC分別與x軸、y軸重合，折疊該紙，折痕與邊OC交于點D，與對角線AC交于點M，
（1）若折疊后使點C與點A重合，求點D的坐標；
（2）若折疊后點C落在邊OA上的點為C′，設OC′=x，OD=y，試寫出y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得點M是AC的中點，點A（2，0）點C（0，4），
則CA=2，CM=，
∵△CDM∽△CAO，
∴CD：CA=CM：CO，
∴CD=2.5，
∴點D的坐標為（0，4-2.5）=（0，1.5）；

（2）折疊后可得△C'DM≌△CDM，設OC′=x，OD=y，
則C'D=CD=4-y，在RT△OC'D中，C'D²=OC²+OD²，即（4-y）²=y²+x²，
即可得y=-x²+2，
由點C'在OA上可得0≤x≤2，
∴解析式：y=-x²+2（0≤x≤2）即為所求．
分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得點M是AC的中點，從而根據(jù)點A及點C的坐標即可得出點D的坐標．
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出△C'DM≌△CDM，設OC′=x，OD=y，則可表示出C'D、CD，建立等式可得出y與x的關系式，再由點C'在OA上可得出自變量的范圍．
點評：此題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，屬于綜合性較強的題目，關鍵是找準折疊后所得的等線段，根據(jù)條件建立等式，難度較大．