Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx過(guò)A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)△CMN的面積．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），根據(jù)面積公式求△ABC的面積；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（m，-m²+4m），利用差表示△ABP的面積，列式計(jì)算求出m的值，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）分別以點(diǎn)C、M、N為直角頂點(diǎn)分三類(lèi)進(jìn)行討論，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長(zhǎng)，利用面積公式進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax²+bx中，
得  $\left\{\begin{array}{l}{0=16a+4b}\\{3=a+b}\end{array}\right.$          解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線表達(dá)式為：y=-x²+4x；
（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），
又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），
∴BC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3；                     
（3）過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)P（m，-m²+4m），
根據(jù)題意，得：BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∴S_△ABP=S_△ABH+S_{四邊形HAPD}-S_△BPD，
6=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m²-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m²-4m），
∴3m²-15m=0，
m₁=0（舍去），m₂=5，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，-5）．                          
（4）以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類(lèi)情況討論：
①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，
則△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴M（1，2），N（2，0），
由勾股定理得：MC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$；
②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖3，作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，
得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM=CD=5，MD=NE=2，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{29}$×$\sqrt{29}$=$\frac{29}{2}$；
③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，
同理得：CN=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{34}$×$\sqrt{34}$=17；
④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，作輔助線，如圖5，同理得：CN=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形，如圖6；
綜上所述：△CMN的面積為：$\frac{5}{2}$或$\frac{29}{2}$或17或5．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)；本題的一般思路為：①根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用面積公式直接表示或求和或求差列式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用等腰直角三角形的兩直角邊相等，構(gòu)建兩直角三角形全等，再利用全等性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合解決問(wèn)題．