【題目】已知,點P是Rt△ABC斜邊AB上一動點(不與A、B重合),分別過A、B向直線CP作垂線,垂足分別為E、F、Q為斜邊AB的中點.
(1)如圖1,當點P與點Q重合時,AE與BF的位置關系,QE與QF的數量關系.
(2)如圖2,當點P在線段AB上不與點Q重合時,試判斷QE與QF的數量關系,并給予證明;
(3)如圖3,當點P在線段BA(或AB)的延長線上時,此時(2)中的結論是否成立?請畫出圖形并給予證明.
【答案】解:(1)如圖1,
當點P與點Q重合時,AE與BF的位置關系是AE∥BF,QE與QF的數量關系是AE=BF,
理由是:∵Q為AB的中點,
∴AQ=BQ,
∵AE⊥CQ,BF⊥CQ,
∴AE∥BF,∠AEQ=∠BFQ=90°,
在△AEQ和△BFQ中
∴△AEQ≌△BFQ,
∴QE=QF,
故答案為:AE∥BF,QE=QF;
(2)
QE=QF,
證明:延長EQ交BF于D,
∵由(1)知:AE∥BF,
∴∠AEQ=∠BDQ,
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ,
∴EQ=DQ,
∵∠BFE=90°,
∴QE=QF;,
(3)當點P在線段BA(或AB)的延長線上時,此時(2)中的結論成立,
證明:延長EQ交FB于D,如圖3,
∵由(1)知:AE∥BF,
∴∠AEQ=∠BDQ,
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ,
∴EQ=DQ,
∵∠BFE=90°,
∴QE=QF.
【解析】(1)根據AAS推出△AEQ≌△BFQ,推出AE=BF即可;
(2)延長EQ交BF于D,求出△AEQ≌△BDQ,根據全等三角形的性質得出EQ=QD,根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可;
(3)延長EQ交FB于D,求出△AEQ≌△BDQ,根據全等三角形的性質得出EQ=QD,根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可.
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【題目】陳明同學準備在課外活動時間組織部分同學參加電腦網絡培訓,按原定的人數估計共需費用300元,后因人數增加到原定人數的2倍,享受優(yōu)惠后,一共只需480元,參加活動的每個同學平均分攤的費用比原計劃少4元,求原定的人數是多少?
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【題目】如圖,△ABC, ∠ABC、∠ACB的三等分線交于點E、D,若∠BFC=132°,∠BGC=118°,則∠A的度數為( )
A.65°
B.66°
C.70°
D.78°
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【題目】如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分,其對稱軸為x=﹣1,且過點(﹣3,0).下列說法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是拋物線上兩點,則y1>y2.
其中說法正確的是( 。
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④
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【題目】如圖,將一張長方形紙片與一張直角三角形紙片(∠EFG=90°)按如圖所示的位置擺放,
使直角三角形紙片的一個頂點E恰好落在長方形紙片的一邊AB上,已知∠BEF=21°,則
∠CMF= .
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP,CP的延長線分別交AD于點E,F,連結BD,DP,BD與CF相交于點H.給出下列結論: ①△ABE≌△DCF;②△DPH是等腰三角形;③PF= AB;④ = .
其中正確結論的個數是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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