Question

19．如圖1，BP、CP是△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分線，∠A=50°，可知∠P=115°；如圖2的四邊形ABCD，BP、CP仍然是∠ABC、∠BCD的角平分線，猜想∠BPC與∠A，∠D有何數(shù)量關系∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可得解；
延長BA、CD相交于點E．根據(jù)已知的結論，得∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠BEC．結合三角形的外角的性質(zhì)，得∠E=∠BAD-∠ADE=∠BAD-（180°-∠ADC），再進一步代入化簡即可．

解答 解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-65°=115°．
如圖2，延長BA、CD相交于點E．

根據(jù)已知的結論，得∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠BEC．
又∠E=∠BAD-∠ADE=∠BAD-（180°-∠ADC）．
∴∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAD-90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．
即∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC．
故答案為：115°，∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC．

點評 本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解決此題的時候，注意構造三角形，直接運用已知的結論，再進一步利用三角形的外角的性質(zhì)進行轉換．