Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，且DE⊥AC．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=20cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：如右圖所示，連接AD、OD．
（1）∵AB是直徑，
∴∠BDA=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OB=OA，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠AED=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）在Rt△ADC中，
∵CD=20cm，∠C=30°，
∴AC==，
∴AB=，
∴⊙O的半徑=AB=．
分析：（1）連接AD、OD，由AB是直徑，可知∠BDA=90°，而AB=AC，易得BD=CD，又OB=OA，可知OD是△ABC的中位線，那么
OD∥AC，結(jié)合DE⊥AC，利用平行線性質(zhì)易得∠ODE=∠AED=90°，從而有DE是⊙O的切線；
（2）在Rt△ADC中，利用特殊三角函數(shù)值，可求AC，從而可求AB，進(jìn)而可求⊙O半徑．
點評：本題考查了等腰三角形三線合一定理、中位線定理、切線的判定和性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值．解題的關(guān)鍵是連接AD、OD，構(gòu)造直角三角形、平行線，并證明OD是△ABC的中位線．