【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2﹣x﹣4交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.
(1)點(diǎn)P為線段BC下方拋物線上的任意一點(diǎn),一動點(diǎn)G從點(diǎn)P出發(fā)沿適當(dāng)路徑以每秒1個單位長度運(yùn)動到y軸上一點(diǎn)M,再沿適當(dāng)路徑以每秒1個單位長度運(yùn)動到x軸上的點(diǎn)N,再沿x軸以每秒個單位長度運(yùn)動到點(diǎn)B.當(dāng)四邊形ACPB面積最大時,求運(yùn)動時間t的最小值;
(2)過點(diǎn)C作AC的垂線交x軸于點(diǎn)D,將△AOC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1、C1,在旋轉(zhuǎn)過程中直線A1C1與x軸交于點(diǎn)Q.與線段CD交于點(diǎn)I.當(dāng)△DQI是等腰三角形時,直接寫出DQ的長度.
【答案】(1)t的最小值為;(2)DQ的長度為或或﹣或或.
【解析】
(1)過點(diǎn)B作BK⊥BC交y軸于點(diǎn)K,作P′H⊥BK交BK于點(diǎn)H、交y軸于點(diǎn)M、交x軸于點(diǎn)N,則此時運(yùn)動的時間最小,即可求解;
(2)將△AOC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),相當(dāng)于存在一個半徑為OR圓O,在整個旋轉(zhuǎn)過程中,AC始終為垂直于OR的切線,確定圓的半徑OR后,分OR靠近x軸、y軸兩種大情況,分別在四個象限逐次求解即可.
解:(1)作PS∥y軸交BC于S,
y=x2﹣x﹣4,令x=0,則y=﹣4,令y=0,則x=-3或4,
故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(﹣3,0)、(4,0)、(0,﹣4),
則直線BC的表達(dá)式為:y=x﹣4,
S四邊形ACPB=S△ABC+S△PBC,
∵S△ABC為常數(shù),
∴只要S△PBC取得最大值,四邊形ACPB面積即為最大,
設(shè)點(diǎn)P(x,x2﹣x﹣4),則點(diǎn)S(x,x﹣4),
S△PBC=×PS×OB=×4×(x﹣4﹣x2+x+4)=x2+x,
∵<0,則S△PBC有最大值,即四邊形ACPB面積有最大值,
此時,x=2,故點(diǎn)P(2,﹣).
作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′(﹣2,﹣),
過點(diǎn)B作BK⊥BC交y軸于點(diǎn)K,作P′H⊥BK交BK于點(diǎn)H、交y軸于點(diǎn)M、交x軸于點(diǎn)N,
則此時運(yùn)動的時間最小,
t=P′M+MN+BN=PM+MN+HN,
直線BK⊥BC,則直線BK的表達(dá)式為:y=﹣x+b,
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得:
直線BK的表達(dá)式為:y=﹣x+4…①,
同理可得直線P′H的表達(dá)式為:y=x﹣…②,
聯(lián)立①②并解得:x=,
故點(diǎn)H(,),
則t=P′H==,
故運(yùn)動時間t的最小值為;
(2)∵AC⊥AD,
則直線CD的表達(dá)式為:y=x﹣4,
故點(diǎn)D(,0);
如圖2,過點(diǎn)O作OR⊥AC于點(diǎn)R,
由面積公式得:OR×AC=OA×OC,
即:OR= =,
設(shè)∠ODC=α,則tanα=,sinα=,
則tan2α=,tan=(證明見備注),
情況一:當(dāng)OR靠近y軸時,
①當(dāng)OR在一、三象限時,如圖3,4:
在圖3中,IQ=ID,
則OQ===4,
故QD=+4=;
在圖4中,IQ=ID,
同理QD=﹣4=;
②當(dāng)OR在二、四象限時,如圖5,6:
在圖5中,DI=DQ,
則∠DQI=∠DIQ=∠ODC=α,
OQ==,
則DQ=﹣,
在圖6中,是與線段CD的延長線相交,不符合題意;
情況二:當(dāng)OR靠近x軸時,
如下圖:當(dāng)點(diǎn)R在二、四象限時,如圖7,
見左側(cè)圖,是與線段DC的延長線相交,不符合題意;
見右側(cè)圖,同理可得:DQ=﹣=;
當(dāng)點(diǎn)R在一、三象限時,如圖8,
見左側(cè)圖,同理可得:DQ=﹣
見右側(cè)圖,是與線段DC的延長線相交,不符合題意;
綜上所述,DQ的長度為或或﹣或+或或或或.
備注:已知tanα=,求tan2α和tan.
如圖△ABD是以BD為底的等腰三角形,AC⊥BD,過點(diǎn)D作DH⊥AB,
則設(shè):∠DAC=∠BAC=α,tanα=,設(shè)BC=CD=3a,則AC=4a,
由三角形的面積公式得:AH×AB=DB×AC,
解得:AH==,
則sin2α=sin∠BAD==,tan2α=,
同理可得:tan=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+2ax﹣3a(a>0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).
(1)求拋物線的對稱軸及線段AB的長;
(2)拋物線的頂點(diǎn)為P,若∠APB=120°,求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值;
(3)若在拋物線上存在一點(diǎn)N,使得∠ANB=90°,結(jié)合圖象,求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC和△ADE均為等邊三角形,D在BC上,DE與AC相交于點(diǎn)F,BD=3,CF=2,則△ADE的周長=________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C在BA的延長線上,直線CD與圓O相切于點(diǎn)D,弦DF⊥AB于點(diǎn)E,連接BD,CD=BD=4,則OE的長度為( )
A.B.2C.2D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】炎熱的夏天來臨之際.為了調(diào)查我校學(xué)生消防安全知識水平,學(xué)校組織了一次全校的消防安全知識培訓(xùn),培訓(xùn)完后進(jìn)行測試,在全校2400名學(xué)生中,分別抽取了男生,女生各15份成績,整理分析過程如下,請補(bǔ)充完整.
(收集數(shù)據(jù))
男生15名學(xué)生測試成績統(tǒng)計如下:
68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,76,85,69,78,80
女生15名學(xué)生測試成績統(tǒng)計如下:(滿分100分)
82,88,83,76,73,78,67,81,82,80,80,86,82,80,82
按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
組別 頻數(shù) | 65.5~70.5 | 70.5~75.5 | 75.5~80.5 | 80.5~85.5 | 85.5~90.5 | 90.5~95.5 |
男生 | 2 | 2 | 4 | 5 | 1 | 1 |
女生 | 1 | 1 | 5 | 6 | 2 | 0 |
(分析數(shù)據(jù))
(1)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下表所示:
班級 | 平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) | 方差 |
男生 | 80 | x | 80 | 45.9 |
女生 | 80 | 82 | y | 24.3 |
在表中:x=_____;y=_____.
(2)若規(guī)定得分在80分以上(不含80分)為合格,請估計全校學(xué)生中消防安全知識合格的學(xué)生有______人.
(3)通過數(shù)據(jù)分析得到的結(jié)論是女生掌握消防安全相關(guān)知識的整體水平比男生好,請從兩個方面說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABD與△AEC都是等邊三角形,AB≠AC.下列結(jié)論中,正確的是 .①BE=CD;②∠BOD=60;③△BOD∽△COE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市銷售一種文具,進(jìn)價為5元/件.售價為6元/件時,當(dāng)天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當(dāng)天的銷售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為元/件(,且是按0.5元的倍數(shù)上漲),當(dāng)天銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元,求當(dāng)天銷售單價所在的范圍;
(3)若每件文具的利潤不超過,要想當(dāng)天獲得利潤最大,每件文具售價為多少元?并求出最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.
(1)如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證: ;
(2)如圖②,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時,使得成立?并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量校園主教學(xué)樓AB的高度,由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá),故興趣小組在平地上選擇一點(diǎn)C,用測角器測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為30°,再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米,到達(dá)點(diǎn)E處(C,E,B三點(diǎn)在同一直線上),又測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60°,已知測角器CD的高度為1.6米,請計算主教學(xué)樓AB的高度.(≈1.73,結(jié)果精確到0.1米)
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