Question

【題目】如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點，且PA=5，PB=4，PC=3，將△APB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△CQB．求：

（1）點P與點Q之間的距離；
（2）求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結(jié)PQ，如圖，

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=60°，BA=BC，

∵△QCB是△PAB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，

∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，

∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，

∴△PBQ是等邊三角形，

∴PQ=PB=4

（2）解：∵QC=5，PC=3，PQ=4，

而32+42=52，

∴PC2+PQ2=CQ2，

∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，

∵△PBQ是等邊三角形，

∴∠BPQ=60°，

∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．

【解析】（1）連結(jié)PQ，如圖，根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判斷△PBQ是等邊三角形，所以PQ=PB=4；（2）先利用勾股定理的逆定理證明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后計算∠BPQ+∠QPC即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)，還要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(①旋轉(zhuǎn)后對應的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．