Question

【題目】如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．

（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；
（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；
（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)A（-1，0）及C（2，3）得，

，

解得 ，

故拋物線為y=-x2+2x+3

又設(shè)直線為y=kx+n過點(diǎn)A（-1，0）及C（2，3）得

，

解得

故直線AC為y=x+1

（2）解：如圖1，作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），

故直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=- x+ ，

當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小，

則m=- ×3+ =

（3）解：由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

∵點(diǎn)E在直線AC上，

設(shè)E（x，x+1），

①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，

則F（x，x+3），

∵F在拋物線上，

∴x+3=-x2+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）

∴E（0，1）；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，

則F（x，x-1）

由F在拋物線上

∴x-1=-x2+2x+3

解得x= 或x=

∴E（ ， ）或（ ， ）

綜上，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）、（ ， ）或（ ， ）

（4）解：如圖3，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，

設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x2+2x+3）

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）

=-x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ

= PQAG

= （-x2+x+2）×3

=- （x- ）2+

∴面積的最大值為

【解析】（1）由A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線和直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）由使MN+MD的值最小，得到當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小，求出m的值；（3）由（1）、（2）得到D，B的坐標(biāo)，由點(diǎn)E在直線AC上，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，由F在拋物線上，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（4）根據(jù)題意得到PQ的代數(shù)式，由三角形的面積公式S△APC=S△APQ+S△CPQ= PQAG，求出△APC的面積的最大值；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì)．