Question

【題目】如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，．將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接．

（1）求證：是等邊三角形；

（2）當(dāng)時，試判斷的形狀，并說明理由；

（3）探究：當(dāng)為多少度時，是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）直角三角形；（3）為110°、125°、140°

【解析】

試題（1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出結(jié)論；

（2）由勾股定理的逆定理判斷△AOD為直角三角形；

（3）因為△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°-∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．

試題解析：（1）∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，

∴CO=CD．

∴△COD是等邊三角形．

（2）△AOD為直角三角形，

∵△ADC≌△BOC，

∴DA=OB=5，

∵△COD是等邊三角形，

∴OD=OC=4，又OA=3，

∴DA2=OA2+OD2，

∴△AOD為直角三角形．

（3）因為△AOD是等腰三角形，

所以分三種情況：①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO

∵∠AOB=110°，∠COD=60°，

∴∠BOC=190°-∠AOD，

而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO

由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，求得α=125°；

由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°-∠AOD，求得α=110°；

由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°-2∠AOD，求得α=140°；

綜上可知α=125°、α=110°或α=140°．