Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a=

1

3

，c=2+b且拋物線在-2≤x≤2區(qū)間上的最小值是-3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在實(shí)數(shù)x，使得相應(yīng)的y的值為1，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接將a=b=1，c=-1代入求出即可；
（2）利用當(dāng)x=-b＜-2時(shí)，即b＞2，此時(shí)-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2；當(dāng)x=-b＞2時(shí)，即b＜-2，則有拋物線在x=2時(shí)取最小值為-3，此時(shí)-3=2²+2×2b+b+2；當(dāng)-2≤-b≤2時(shí)，即-2≤b≤2，則有拋物線在x=-b時(shí)，取最小值為-3，分別求出符合題意的答案即可；
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，則△=4b²-12a（c-1），求出△的符號(hào)得出答案即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=b=1，c=-1時(shí)，拋物線為：y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的兩個(gè)根為：x₁=-1，x₂=

1

3

．
∴該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是：（-1，0）和（

1

3

，0）；

（2）a=

1

3

，c-b=2，則拋物線可化為：y=x²+2bx+b+2，
其對(duì)稱軸為：x=-b，
當(dāng)x=-b＜-2時(shí)，即b＞2，則有拋物線在x=-2時(shí)取最小值為-3，
此時(shí)-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2，
解得：b=3，符合題意，
當(dāng)x=-b＞2時(shí)，即b＜-2，則有拋物線在x=2時(shí)取最小值為-3，此時(shí)-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-

9

5

，不合題意，舍去．
當(dāng)-2≤-b≤2時(shí)，即-2≤b≤2，則有拋物線在x=-b時(shí)，取最小值為-3，
此時(shí)-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化簡(jiǎn)得：b²-b-5=0，
解得：b₁=

1+ 21

2

（不合題意，舍去），b₂=

1- 21

2

．
綜上：b=3或b=

1- 21

2

．

（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²-12a（c-1），
=4b²-12a（-a-b），
=4b²+12ab+12a²，
=4（b²+3ab+3a²），
=4[（b+

3

2

a）²+

3

4

a²]，
∵a≠0，△＞0，
所以方程3ax²+2bx+c=1有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
即存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x₀，使得相應(yīng)y=1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和一元二次方程的解法等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．