Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在第二象限．現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α=60°，OE=OA，求直線EF的函數(shù)表達(dá)式．

（2）若α為銳角，tanα= ，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，求正方形OEFG的面積．
（3）當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P，△OEP的其中兩邊之比能否為 ：1？若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，試說明理由

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，EF與y軸的交點(diǎn)為M．

∵OE=OA，α=60°，

∴△AEO為正三角形，

∴OH=3，EH= =3 ．

∴E（﹣3，3 ）．

∵∠AOM=90°，

∴∠EOM=30°．

在Rt△EOM中，

∵cos∠EOM= ，

即 = ，

∴OM=4 ．

∴M（0，4 ）．

設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+4 ，

∵該直線過點(diǎn)E（﹣3，3 ），

∴﹣3k+4 =3 ，

解得k= ，

所以，直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y= x+4

（2）解：如圖2，

射線OQ與OA的夾角為α（ α為銳角，tanα= ）．

無論正方形邊長為多少，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方

形OEFG的頂點(diǎn)E在射線OQ上，

∴當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長最小．

在Rt△AOE中，設(shè)AE=a，則OE=2a，

∴a2+（2a）2=62，解得a1= ，a2=﹣ （舍去），

∴OE=2a= ，

∴S正方形OEFG=OE2=

（3）解：方法一：設(shè)正方形邊長為m．

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時(shí)．

如圖3，

當(dāng)P與F重合時(shí)，△PEO是等腰直角三角形，有 = 或 = ．

在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，6）．

在圖3的基礎(chǔ)上，

當(dāng)減小正方形邊長時(shí)，

點(diǎn)P在邊FG 上，△OEP的其中兩邊之比不可能為 ：1；

當(dāng)增加正方形邊長時(shí)，存在 = （圖4）和 = （圖5）兩種情況．

如圖4，

△EFP是等腰直角三角形，

有 = ，

即 = ，

此時(shí)有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE=45°，

∴OE= OA=6 ，

∴PE= OE=12，PA=PE+AE=18，

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣6，18）．

如圖5，

過P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，延長PG交x軸于點(diǎn)H．設(shè)PF=n．

在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，

當(dāng) = 時(shí)，

∴PO2=2PE2．

∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．

∵EO∥PH，

∴△AOE∽△AHP，

∴ = ，

∴AH=4OA=24，

即OH=18，

∴m=9 ．

在等腰Rt△PRH中，PR=HR= PH=36，

∴OR=RH﹣OH=18，

∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（﹣18，36）．

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸負(fù)半軸時(shí)，

如圖6，

P與A重合時(shí)，在Rt△POG中，OP= OG，

又∵正方形OGFE中，OG=OE，

∴OP= OE．

∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（﹣6，0）．

在圖6的基礎(chǔ)上，當(dāng)正方形邊長減小時(shí)，△OEP的其中

兩邊之比不可能為 ：1；當(dāng)正方形邊長增加時(shí)，存在 = （圖7）這一種情況．

如圖7，過P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，

設(shè)PG=n．

在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．

當(dāng) = 時(shí)，

∴PE2=2PO2．

∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，

∴n=2m，

由于NG=OG=m，則PN=NG=m，

∵OE∥PN，

∴△AOE∽△ANP，

∴ =1，

即AN=OA=6．

在等腰Rt△ONG中，ON= m，

∴12= m，

∴m=6 ，

在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，

∴點(diǎn)P5的坐標(biāo)為（﹣18，6）．

所以，△OEP的其中兩邊的比能為 ：1，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P1（0，6），P2（﹣6，18），

P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．

方法二：設(shè)點(diǎn)F（0，2a），

∴E（﹣a，a），G（a，a），

∵A（﹣6，0），

∴直線FG的解析式為y=﹣x+2a①，直線AE的解析式為y= （x+6）②，

聯(lián)立①②得，P（﹣（ ）， ）；

∵E（﹣a，a），O（0，0），

∴PE2= =2a2（ ）2，

OP2= =2a2（ ），

OE2=2a2，

∵△OEP的其中兩邊之比為 ：1，

∴△OEP的其中兩邊的平方之比為2：1，

①PE2=2OE2，

∴2a2（ ）2=2×2a2，

∴a=0（舍）或a=6，

把a(bǔ)=6代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中，得，P（﹣6，18）（如圖4），

②PE2=2OP2，

∴2a2（ ）2=2×2a2（ ），

∴a=0（舍）或a=﹣6，

把a(bǔ)=6代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中，得，P（﹣18，6）（如圖7），

③OE2=2PE2；

∴2a2=2×2a2（ ）2，此方程無解；

④OE2=2OP2．

∴2a2=2×2a2（ ），此方程無解；

⑤OP2=2OE2；

∴2a2（ ）=2×2a2，

∴a=3或a=﹣3，

將a的值代入點(diǎn)P坐標(biāo)中，得，P（0，6）（如圖3）或（﹣6，0）（圖6）

，

⑥OP2=2PE2．

∴2a2（ ）=2×2a2（ ）2，

∴a=3（和第五種情況重復(fù)）或a=9，

把a(bǔ)=9代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中，得，P（﹣18，36）（如圖5）

所以，△OEP的其中兩邊的比能為 ：1，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P（0，6），P（﹣6，18），

P（﹣18，36），P（﹣6，0），P（﹣18，6）．

【解析】（1）求出E、M的坐標(biāo)代入解析式即可；（2）當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長最小，利用正切得出邊之間的關(guān)系式，由勾股定理建立方程即可；（3）可分類討論，由于正方形的邊長在變化，因此AE與FG的交點(diǎn)P位置會(huì)發(fā)生變化， 1.點(diǎn)F落在y軸正半軸；2.P與F重合時(shí)；3.點(diǎn)F落在y軸負(fù)半軸時(shí)；4.P與A重合時(shí).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．