Question

P、Q、R、S四個小球分別從正方形ABCD的四個定點A、B、C、D點出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB、BC、CD、DA的方向滾動，其終點分別是B、C、D、A。

 （1）不管滾動多長時間，求證：四邊形PQRS為正方形；

 （2）連結(jié)對角線AC、BD、PR、SQ，你發(fā)現(xiàn)四條對角線有何關(guān)系？

 （3）根據(jù)此圖，若有四個全等的直角三角形，你能否拼成一個正方形？若這個三角形直角邊為a、b，斜邊問c，你能否根據(jù)面積推導(dǎo)出勾股定理？

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）四條對角線相交于一點，且互相平分（3）能拼成一個正方形，見解析

【解析】（1）四個動點，P、Q、E、F分別從正方形ABCD的頂點A、B、C、D同時出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣速度向B、C、D、A移動可得AP=BQ=CF=DS，PB=QC=FD=SA．

可得△APS≌△BQP≌△CFQ≌△DFS，

得PQ=QF=FS=SP．

∠SPA=∠PQB．

又∠PQB+∠QPB=90°，

所以∠FPA+∠QPB=90°，∠FPQ=90°．

所以PQEF為正方形．（3分）

（2）四條對角線相交于一點，且互相平分．（1分）

（3）能拼成一個正方形．用面積的方法來證明

直角邊分別是a，b．斜邊是c，

整個大正方形的面積應(yīng)該是（a+b）²

而一個一個進(jìn)行分解計算，4個小三角形的面積是4×ab=2ab．

中間的正方形面積是c²

則（a+b）²=2ab+c²，分解開就可以得到a²+b²=c²．（4分）

（1）可先證明△APF≌△BQP≌△CEQ≌△DFE，得PQ=QE=EF=FP；再證∠FPQ=90°；

（2）用面積的方法來證明，拼出的大正方形的面積，既可以用正方形面積公式求得，也可以用中間四個小三角形和小正方形的面積和來表示，列出相等關(guān)系，即可求證．