Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，DE，AD，BE的數(shù)量關(guān)系是

 

，并請給出證明過程．
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE，AD，BE的數(shù)量關(guān)系是

 

（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)易證得∠DAC=∠ECB，已知∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，根據(jù)全等三角形的判定AAS即可證明△ADC≌△CEB，根據(jù)各邊的相等關(guān)系即可得DE=AD+BE．
（2）同理可證得△ADC≌△CEB，再根據(jù)各邊的相等關(guān)系可得DE=AD-BE．

解答：解：（1）AD+BE=DE，證明如下：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，

∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．

（2）DE=AD-BE．證明如下：
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中

∠ACD=∠CBE ∠ADC=∠BEC AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．

點(diǎn)評：本題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．