Question

如圖，已知拋物線y=

1

4

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（-4，0）與點(diǎn)C（8，0），且交y軸于點(diǎn)A．
（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將該拋物線向上平移4個單位，再向右平移m個單位，得到新拋物線．若新拋物線的頂點(diǎn)為P，聯(lián)接BP，直線BP將△ABC分割成面積相等的兩個三角形，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用三角形中線平分面積進(jìn)而得出PP過AC中點(diǎn)，進(jìn)而得出BP解析式，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可得出答案．

解答：解：（1）將點(diǎn)B（-4，0）與點(diǎn)C（8，0），代入解析式得：

0= 1 4 ×(-4)2-4b+c 0= 1 4 ×82+8b+c

，
解得：

b=-1 c=-8

，
∴該拋物線的表達(dá)式為：y=

1

4

x²-x-8，
y=

1

4

x²-x-8=

1

4

（x²-4x）-8=

1

4

（x-2）²-9，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-9）；

（2）∵y=

1

4

x²-x-8交y軸于點(diǎn)A，
∴A（0，-8），
根據(jù)題意得出：平移后解析式為：y=

1

4

（x-2-m）²-5，
∵直線BP將△ABC分割成面積相等的兩個三角形，
∴P為AC中點(diǎn)，
∵A（0，-8），C（8，0），
∴AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，-4），
∴設(shè)BP的解析式為：y=ax+h，
 

4a+h=-4 -4a+h=0

，
解得：

a=- 1 2 h=-2

，
∴BP的解析式為：y=-

1

2

x-2，
即直線過BP中點(diǎn)P（2+m，-5），
-5=-

1

2

（2+m）-2
解得：m=4．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次和一次函數(shù)解析式，利用三角形中線平分面積得出是解題關(guān)鍵．