Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=5，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，若將△CEF沿直線(xiàn)EF折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處．
（1）若CF=2，則PD的長(zhǎng)為

 

；
（2）設(shè)CF=x，則x的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)得CD=AB=3，由于CF=2，則DF=1，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得PF=CF=2，然后在Rt△PDF中根據(jù)勾股定理可計(jì)算出PD；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在B點(diǎn)，將△CEF沿直線(xiàn)EF折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，此時(shí)CF最小，如圖1，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BP=BC=5，在Rt△APB中，利用勾股定理計(jì)算出AP=4，則PD=AD-AP=1，設(shè)CF=t，則PF=t，DF=3-t，在Rt△PDF中，根據(jù)勾股定理得到（3-t）²+1²=x²，解得t=

5

3

，即當(dāng)點(diǎn)E在B點(diǎn)，將△CEF沿直線(xiàn)EF折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，此時(shí)BF的長(zhǎng)為

5

3

，于是得到x的取值范圍為

5

3

≤x≤3．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=3，
∵CF=2，
∴DF=CD-CF=1，
∵△CEF沿直線(xiàn)EF折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，
∴PF=CF=2，
在Rt△PDF中，PD=

PF2-DF2

=

3

；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在B點(diǎn)，將△CEF沿直線(xiàn)EF折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，此時(shí)CF最小，如圖1，
則BP=BC=5，
在Rt△APB中，AP=

BP2-AB2

=4，
∴PD=AD-AP=1，
設(shè)CF=t，則PF=t，DF=3-t，
在Rt△PDF中，
∵DF²+PD²=PF²，
∴（3-t）²+1²=x²，解得t=

5

3

，
即當(dāng)點(diǎn)E在B點(diǎn)，將△CEF沿直線(xiàn)EF折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，此時(shí)BF的長(zhǎng)為

5

3

，
∴x的取值范圍為

5

3

≤x≤3．
故答案為：

5

3

≤x≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了勾股定理．