Question

15．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象相交于點(diǎn)A（-2，1），點(diǎn)B（1，n）．
（1）求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集；
（3）在平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)邊長(zhǎng)為1的正方形EFDG的邊均平行于坐標(biāo)軸，若點(diǎn)E（-a，a），如圖，當(dāng)曲線y=$\frac{m}{x}$（x＜0）與此正方形的邊有交點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出反比例函數(shù)系數(shù)m，從而得出反比例函數(shù)解析式；由點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出不等式的解集；
（3）過(guò)點(diǎn)O、E作直線OE，求出直線OE的解析式，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并驗(yàn)證點(diǎn)D在直線OE上，再將直線OE的解析式代入到反比例函數(shù)解析式中，求出交點(diǎn)坐標(biāo)橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象以及點(diǎn)D、E的坐標(biāo)即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-2，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=-2×1=-2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{2}{x}$；
∵點(diǎn)B（1，n）在反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴-2=n，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-2）．
將點(diǎn)A（-2，1）、點(diǎn)B（1，-2）代入y=kx+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{1=-2k+b}\\{-2=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-1．
（2）不等式-x-1-（-$\frac{2}{x}$）＜0可變形為：-x-1＜-$\frac{2}{x}$，
觀察兩函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)-2＜x＜0或x＞1時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例圖象下方，
∴滿足不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集為-2＜x＜0或x＞1．
（3）過(guò)點(diǎn)O、E作直線OE，如圖所示．

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-a，a），
∴直線OE的解析式為y=-x．
∵四邊形EFDG是邊長(zhǎng)為1的正方形，且各邊均平行于坐標(biāo)軸，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-a+1，a-1），
∵a-1=-（-a+1），
∴點(diǎn)D在直線OE上．
將y=-x代入y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）得：
-x=-$\frac{2}{x}$，即x²=2，
解得：x=-$\sqrt{2}$，或x=$\sqrt{2}$（舍去）．
∵曲線y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）與此正方形的邊有交點(diǎn)，
∴-a≤-$\sqrt{2}$≤-a+1，
解得：$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$+1．
故當(dāng)曲線y=$\frac{m}{x}$（x＜0）與此正方形的邊有交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的位置關(guān)系解決不等式；（3）找出關(guān)于a的一元一次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．