Question

如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，花壇上底長(zhǎng)12米，下底長(zhǎng)18米，高8米．
（1）求梯形的中位線的長(zhǎng)；
（2）在梯形兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向通道，上下底之間有兩條縱向通道，各條通道的寬度均為x米．
①若通道的總面積等于42平方米，求通道的寬；
②按要求通道的寬不能超過(guò)1米，且修建三條通道應(yīng)付的工資合計(jì)為25

3

x元．花壇其余部分應(yīng)付的工資為每平方米

3

元，當(dāng)通道的寬度為多少米時(shí)，所建花壇應(yīng)付的總工資最少？最少工資是多少元？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)梯形的中位線的長(zhǎng)=（上底+下底）÷2進(jìn)行計(jì)算；
（2）①兩條縱向通道的面積=2×8x，橫向通道的面積=中位線×高，通道的總面積等于兩條縱向通道的面積+橫向通道的面積-2x²；根據(jù)題意列出方程，求出x即為通道的寬；
②根據(jù)題意列出一個(gè)二次函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的最小值，即為最少費(fèi)用．

解答：解：（1）梯形的中位線的長(zhǎng)為（上底+下底）÷2=15米；（3分）

（2）①依題意：16x+15x-2x²=42（6分）
解得x₁=1.5x₂=14（舍去）（8分）
∴通道的寬為1.5米．
②設(shè)修建花壇應(yīng)付的總工資為y元．
y=

3

(2x2-31x+120)+25

3

x（10分）=2

3

(x-1.5)2+115.5

3

（11分）
拋物線的開口向上，對(duì)稱軸x=1.5
0＜x≤1，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減小
∴當(dāng)x=1時(shí)，總費(fèi)用最少．最少費(fèi)用為116

3

元（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)比較全面，需要用到梯形中位線定理以及梯形面積的求法，還考查學(xué)生是否能夠運(yùn)用梯形的中位線定理把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．此題的難度較大，是中考?jí)狠S題．