Question

（2011•錦江區(qū)模擬）如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，花壇上底長(zhǎng)120米，下底長(zhǎng)180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向通道，上下底之間有兩條縱向通道，各通道的寬度相等．設(shè)通道的寬為x米．
（1）用含x的式子表示橫向通道的面積；
（2）當(dāng)三條通道的面積是梯形面積的八分之一時(shí)，求通道的寬；
（3）根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，通道的寬不能超過8米．如果修建通道的總費(fèi)用（萬元）與通道的寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.5，花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)通道的寬度為多少米時(shí)，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）甬道的形狀是梯形，所以根據(jù)梯形面積公式即可求解；
（2）用含x的代數(shù)式表示出三條甬道的總面積，然后求出梯形的總面積，根據(jù)三條通道的面積是梯形面積的八分之一列方程求解，在求解過程中要注意三條甬道有重合部分；
（3）表示出修建花壇的總費(fèi)用與甬道的寬度之間的函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）橫向甬道的面積為：（120+180）÷2×x=150x（m²）；

（2）依題意：2×80×x+150x-2x²=

1

8

×（120+180）÷2×80，
整理得：x²-155x+750=0，
x₁=5，x₂=150（不符合題意，舍去），
故甬道的寬為5米；

（3）設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元．
則y=0.02×[（120+180）÷2×80-（-2x²+310x）]+5.5x，
=0.04x²-0.7x+240，
當(dāng)x=-

b

2a

=8.75時(shí)，y的值最小．
∵根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過8米，
∴當(dāng)x=8米時(shí)，總費(fèi)用最少．
即最少費(fèi)用為：0.04×8²-0.7×8+240=239.96萬元．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的應(yīng)用；得到甬道的總面積是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．注意兩個(gè)梯形的中位線是同一條．