Question

設(shè)對每個正的奇數(shù)n，n¹²-n⁸-n⁴+1都能被2^k整除，則正整數(shù)k的最大值是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)的整除性

專題：

分析：首先把n¹²-n⁸-n⁴+1分組分解因式，化為（n⁴+1）（n²+1）²（n+1）²（n-1）²，再進(jìn)一步根據(jù)每一個因式所含因數(shù)2的個數(shù)探討得出答案即可．

解答：解：n¹²-n⁸-n⁴+1
=n⁸（n⁴-1）-（n⁴-1）
=（n⁴-1）（n⁸-1）
=（n²+1）（n²-1）（n⁴+1）（n⁴-1）
=（n⁴+1）（n²+1）²（n+1）²（n-1）²，
∵n是正奇數(shù)，
∴每一個因式的里面都含有因數(shù)2，
因此含有因數(shù)2的個數(shù)為1+2+2+2=7個，
也就是n¹²-n⁸-n⁴+1都能被2⁷整除，正整數(shù)k的最大值是7．
故答案為：7．

點評：此題考查數(shù)的整除性，巧妙利用平方差公式因式分解，找出因式中2的個數(shù)解決問題．