【題目】在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=30°,CD、BE交于點O,連接OA
(1) 如圖1,求證:△ABE≌△ACD
(2) 如圖1,求∠AOE的大小
(3) 當繞點A旋轉至如圖2所示位置時,若∠BAC=∠DAE=α,∠AOE=_________
【答案】(1)見解析;(2)∠AOE=105°;(3)90°+α.
【解析】
(1)根據等邊三角形的性質性質,可得∠BAE=∠CAD,由SAS證明△ABE≌△ACD即可;
(2)由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出∠ABC=∠ACB=75°,根據全等三角形的性質得出∠ABO=∠ACO.∠AEO=∠ADO,證出A、B、C、O四點共圓,A、D、E、O四點共圓,由圓內接四邊形的性質和圓周角定理得出∠AOD=∠ABC=75°,∠DOE=∠DAE=30°,得出∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°即可;
(3)同(2),即可得出結果.
(1)證明:∵∠BAC=∠DAE=30°,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS);
(2)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=(180°30°)=75°,
∵△ABE≌△ACD,
∴∠ABO=∠ACO.∠AEO=∠ADO,
∴A、B. C. O四點共圓,A. D. E. O四點共圓,
∴∠AOD=∠ABC=75°,∠DOE=∠DAE=30°,
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=75°+30°=105°;
(3)同(2)得:∠ABC=∠ACB= (180°α)=90°α,
∴∠AOD=∠ABC=90°α,∠DOE=∠DAE=α,
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°α+α=90°+α;
故答案為:90°+α.
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【題目】某經銷商銷售一種產品,這種產品的成本價為10元/千克,市場調查發(fā)現,該產品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克,且10≤x≤18)之間的函數關系如圖所示:
(1)求y(千克)與銷售價z的函數關系式;
(2)該經銷商想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應定為多少?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形內部有一動點P滿足S△PAB=S矩形ABCD,則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為______.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2,BE=CE,MN=1,線段MN的端點M,N分別在CD,AD上滑動,當DM=______________時,△ABE與以D,M,N為頂點的三角形相似。
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【題目】如圖,在ABCD中,AB=6,BC=10,AB⊥AC,點P從點B出發(fā)沿著B→A→C的路徑運動,同時點Q從點A出發(fā)沿著A→C→D的路徑以相同的速度運動,當點P到達點C時,點Q隨之停止運動,設點P運動的路程為x,y=PQ2,下列圖象中大致反映y與x之間的函數關系的是( 。
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,在△ABD和△ACE中,有下列四個等式:①AB=AC;②AD=AE;③∠1=∠2;④BD=CE.以其中三個條件為題設,填入已知欄中,一個論斷為結論,填入下面求證欄中,使之組成一個真命題,并寫出證明過程.
已知: .
求證: .
證明:
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC,BC相交于點E,F,且使DE始終與AB垂直.
(1)△BDF是什么三角形?請說明理由;
(2)設AD=x,CF=y,試求y與x之間的函數關系式;(不用寫出自變量x的取值范圍)
(3)當移動點D使EF∥AB時,求AD的長。
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