Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O外接于△ABC，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的角平分線與AD交于E點(diǎn)，與AC交于F點(diǎn)，且AE＝AF．

（1）證明直線AD是⊙O的切線；

（2）若AD＝16，sinD＝，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AEF=∠AFE，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE=∠CBF，求得∠BAE=90°，于是得到結(jié)論；

（2）設(shè)AB=4k，BD=5k，得到AD=3k．求得AB=，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AF＝AE，

∴∠AEF＝∠AFE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBF，

∵∠CFB＝∠AFE，

∴∠CFB＝∠AEB．

∵∠CFB+∠FBC＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝90°，

即∠BAE＝90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴直線AD是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)AB＝4k，BD＝5k，

∴AD＝3k．

∵AD＝16，

∴k＝，

∴AB＝，

∵∠BAD＝∠ACB＝90°，

∴∠D+∠CAD＝∠CAD+∠BAC＝90°，

∴∠D＝∠BAC，

∴sin∠BAC＝sin D＝．

∵sin∠BAC＝＝，

∴BC＝．