Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，給出以下五個結(jié)論：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④S四邊形AEPF= S△ABC ， 當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），上述結(jié)論中始終正確有 （ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，
∴AP⊥BC，AP= BC=PB，∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，∠APF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠APF，
在△BPE和△APF中，
，
∴△PFA≌△PEB（ASA），即結(jié)論①正確；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，
∴AP= BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故結(jié)論②錯誤；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故結(jié)論③正確；
∵△PFA≌△PEB，
∴S△PFA=S△PEB ，
∴S四邊形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB= S△ABC ， 故結(jié)論④正確；
綜上，當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），始終正確的有3個結(jié)論．
故選（C）

根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理，得出△APF≌△BPE，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷．