Question

【題目】(2016湖北省荊州市第25題)閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

問(wèn)題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部．

（1）直接寫出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線；

（2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？

Answer 1

【答案】(1)、x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；(2)、y=（x﹣2）2+3；(3)、或

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)特征線直接求出點(diǎn)D的特征線；(2)、由點(diǎn)D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式；(3)、分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計(jì)算即可．

試題解析：(1)、∵點(diǎn)D（m，n）， ∴點(diǎn)D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；

(2)、點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1， ∴n﹣m=1， ∴n=m+1

∵拋物線解析式為， ∴y=（x﹣m）2+m+1，

∵四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對(duì)稱軸，D（m，n）， ∴B（2m，2m），

∴（2m﹣m）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3； ∴D（2，3）， ∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2+3

(3)、如圖，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，

根據(jù)題意可得，D（2，3）， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60°， ∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN==， ∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．

當(dāng)點(diǎn)A′在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，

∵頂點(diǎn)落在OP上， ∴A′與D重合， ∴A′（2，3）， 設(shè)P（4，c）（c＞0），

由折疊有，PD=PA， ∴=c， ∴c=， ∴P（4，） ∴直線OP解析式為y=，

∴N（2，）， ∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=，

拋物線向下平移或距離，其頂點(diǎn)落在OP上．

考點(diǎn)(1)、折疊的性質(zhì)；(2)、正方形的性質(zhì)；(3)、特征線的理解