Question

如圖，直線l交x軸的負半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，線段OA、OB的長分別是方程x²-14x+48=0（OA＞OB）的兩根的

1

3

．
（1）求點A、B的坐標；
（2）若點M在直線l上，且AM=

10

9

，求經(jīng)過兩點O、M的直線的解析式；
（3）若點P在射線AB上且BP=10，在x軸上是否存在點Q使以點B、P、Q為頂點的三角形是直角三角形？若存在請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先解x²-14x+48=0，即可求得點A與B的坐標；
（2）利用（1）中點的坐標，待定系數(shù)法即可求得直線l的解析式，設(shè)出點M的坐標，利用兩點間的距離表示AM建立方程，解出方程求得坐標；
（3）因為點P在射線AB上且BP=10，所以點P在第一象限，設(shè)出坐標，利用兩點間的距離求得BP，進一步得出P點坐標，再進一步分類探討點Q的坐標即可．

解答：解：（1）x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OA＞OB，
∴OA=8×

1

3

=

8

3

，OB=6×

1

3

=2，
∴點A坐標為（-

8

3

，0），點B坐標為（0，2）．

（2）設(shè)直線l=kx+b，把點A、B代入得：

- 8 3 k+b=0 b=2

，
解得k=

3

4

，b=2，
∴l(xiāng)=

3

4

x+2，
∵點M在直線l上，設(shè)點M坐標為（x，

3

4

x+2），
∴AM=

(x+ 8 3 )2+( 3 4 x+2)2

=

10

9

，
整理得出（

5

4

x+

10

3

）²=

100

81

，
解得x=-

16

9

或x=-

32

9

，
則

3

4

x+2=

2

3

或

3

4

x+2=-

2

3

，
∴點M坐標為（-

16

9

，

2

3

）或（-

32

9

，-

2

3

），
設(shè)經(jīng)過兩點O、M的直線的解析式為y=kx，
代入M點得出y=-

3

8

x或y=

3

16

x；

（3）存在點Q使以點B、P、Q為頂點的三角形是直角三角形．
由題意設(shè)P為（x，

3

4

x+2）
則BP=

x2+( 3 4 x+2-2)2

=10
解得x=8或x=-8，
∵P在射線AB上，
∴x=8，
則點P坐標為（8，8）
以點B、P、Q為頂點的三角形是直角三角形，
①當∠PBQ=90°，則經(jīng)過B、Q兩點的直線為y=-

4

3

x+2，求得點Q坐標為（

3

2

，0）
②當∠BPQ=90°，則經(jīng)過P、Q兩點的直線為y=-

4

3

x+

56

3

，求得點Q坐標為（14，0）
③當∠PQB=90°，設(shè)Q點坐標為（x，0），則由勾股定理BQ²+PQ²=PB²，得出x²+2²+（x-8）²+8²=10²，
解得x=4，點Q坐標為（4，0）
綜上所知點Q坐標為（

3

2

，0）或（14，0）或（4，0）．

點評：此題考查一次函數(shù)的綜合運用，兩點間的距離計算方法，以及分類討論思想的滲透，是一道比較難的題目．