Question

17．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$與一次函數(shù)y=x+b的圖象相交于點A（x₁，x₂），若x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+mx+2=0的不相等的兩實數(shù)根，則下列四種說法中錯誤的是（　�。�

• A． 必有b≠0
• B． 必有m²-b²=8
• C． 線段OA的長度必定大于2
• D． 除A點外y=$\frac{k}{x}$與y=x+b圖象必定還有一個交點，且兩交點位于同一象限

Answer 1

分析 根據(jù)x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+mx+2=0的不相等的兩實數(shù)根即可判斷A；根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和根與系數(shù)的關(guān)系即可求得m²-b²=8，即可判斷B；根據(jù)勾股定理和m²-b²=8得出OA=$\sqrt{^{2}+4}$，即可判斷C；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得k，判定反比例函數(shù)的位置，然后根據(jù)直線所處的位置即可判斷D．

解答 解：A、∴反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$與一次函數(shù)y=x+b的圖象相交于點A（x₁，x₂），
∴x₂=x₁+b，
∴b=x₂-x₁，
∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+mx+2=0的不相等的兩實數(shù)根，
∴b=x₂-x₁≠0，故正確；
B、∵x₂=x₁+b，
∴x₂-x₁=b，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²，
∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+mx+2=0的不相等的兩實數(shù)根，
∴x₁x₂=2，x₁+x₂=-m，
∴m²-4×2=b²，
∴m²-b²=8，故正確；
C、∵點A（x₁，x₂），
∴OA=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-4}$，
∵m²-b²=8，
∴m²=$\sqrt{^{2}+4}$，m²-b²=8
∴OA=$\sqrt{^{2}+4}$，
∵b≠0，
∴b²+4＞4，
∴OA=$\sqrt{^{2}+4}$＞2，故正確；
D、∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$與一次函數(shù)y=x+b的圖象相交于點A（x₁，x₂），
∴x₁x₂=k，
∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+mx+2=0的不相等的兩實數(shù)根，
∴x₁x₂=2，
∴k=2，
∴反比例函數(shù)在一三象限，
∵一次函數(shù)y=x+b的圖象一定經(jīng)過一、三象限，
∴y=$\frac{k}{x}$與y=x+b圖象的交點分別在第一、第三象限，故錯誤；
故選D．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系和函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．