Question

13．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
（1）CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上，BE的延長線交CA的延長線于M，補(bǔ)全圖形，并探究BE和CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若BC上有一動點(diǎn)P，且∠BPQ=$\frac{1}{2}$∠ACB，BQ⊥PQ于Q，PQ交AB于F，試探究BQ和PF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖1，證明△ABM≌△ACD，得CD=BM，再證明△MEC≌△BEC，得BE=EM，則BE=$\frac{1}{2}$CD；
（2）如圖2，根據(jù)（1）作輔助線，證明PQ∥EC，得$\frac{BQ}{BE}=\frac{PF}{DC}$，利用（1）的結(jié)論BE=$\frac{1}{2}$CD，得BQ=$\frac{1}{2}$PF．

解答 解：（1）如圖1，BE=$\frac{1}{2}$CD，理由是：
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BEC=∠BAC，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠ABM=∠ACD，
∵AB=AC，∠BAM=∠BAC=90°，
∴△ABM≌△ACD，
∴CD=BM，
∵∠MCE=∠BCE，EC=EC，∠BEC=∠MEC=90°，
∴△MEC≌△BEC，
∴BE=EM，
∴BE=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$CD；
（2）如圖2，BQ=$\frac{1}{2}$PF，理由是：
作∠ACB的平分線，交BQ延長線于E，交AB于D，
由（1）得：BE=$\frac{1}{2}$CD，
∵∠BPQ=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BPQ=∠BCE，
∴PQ∥CE，
∴$\frac{BQ}{BE}$=$\frac{BF}{BD}$，$\frac{BF}{BD}=\frac{PF}{DC}$，
∴$\frac{BQ}{BE}=\frac{PF}{DC}$，
∴$\frac{BQ}{PF}=\frac{BE}{DC}=\frac{1}{2}$，
∴BQ=$\frac{1}{2}$PF．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定，在證明線段的和、差及倍數(shù)關(guān)系時，如果這些線段不在同一直線上，可以利用證明三角形全等，將線段轉(zhuǎn)化到同一直線上，再證明其數(shù)量關(guān)系．