【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C,D是半圓O的三等分點,過點C作⊙O的切線交AD的延長線于點E,過點D作DF⊥AB于點F,交⊙O于點H,連接DC,AC.
(1)求證:∠AEC=90°;
(2)試判斷以點A,O,C,D為頂點的四邊形的形狀,并說明理由;
(3)若DC=2,求DH的長.
【答案】
(1)證明:連接OC,
∵EC與⊙O切點C,
∴OC⊥EC,
∴∠OCE=90°,
∵點CD是半圓O的三等分點,
∴ = = ,
∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AE∥OC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)
∴∠AEC+∠OCE=180°,
∴∠AEC=90°
(2)解:四邊形AOCD為菱形.
理由是:
∵ = ,
∴∠DCA=∠CAB,
∴CD∥OA,
又∵AE∥OC,
∴四邊形AOCD是平行四邊形,
∵OA=OC,
∴平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)
(3)解:連接OD.
∵四邊形AOCD為菱形,
∴OA=AD=DC=2,
∵OA=OD,
∴OA=OD=AD=2,
∴△OAD是等邊三角形,
∴∠AOD=60°,
∵DH⊥AB于點F,AB為直徑,
∴DH=2DF,
在Rt△OFD中,sin∠AOD= ,
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°= ,
∴DH=2DF=2 .
【解析】(1)連接OC,根據(jù)EC與⊙O切點C,則∠OCE=90°,由題意得 = = ,∠DAC=∠CAB,即可證明AE∥OC,則∠AEC+∠OCE=180°,從而得出∠AEC=90°;(2)四邊形AOCD為菱形.由(1)得 = ,則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形,再由OA=OC,即可證明平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形);(3)連接OD.根據(jù)四邊形AOCD為菱形,得△OAD是等邊三角形,則∠AOD=60°,再由DH⊥AB于點F,AB為直徑,在Rt△OFD中,根據(jù)sin∠AOD= ,求得DH的長.
【考點精析】認真審題,首先需要了解切線的性質(zhì)定理(切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑),還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法))的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,EF過□ABCD對角線的交點O,交AD于E,交BC于F,若□ ABCD的周長為16,OE=2.5,則四邊形EFCD的周長為( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°到AB′C′D′的位置,則圖中陰影部分的面積為( )
A.
B.
C.1﹣
D.1﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于點E,垂足為F,連接CD,BE
(1)求證:CE=AD
(2)若D為AB的中點,則∠A的度數(shù)滿足什么條件時,四邊形BECD是正方形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C,連結(jié)AO并延長交⊙O于點E,連結(jié)EC.若AB=8,CD=2,則EC的長為( )
A.2
B.8
C.
D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E是矩形ABCD內(nèi)的一個動點,連接EA、EB、EC、ED,得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA,設(shè)它們的面積分別是m、n、p、q,給出如下結(jié)論:
①m+n=q+p;
②m+p=n+q;
③若m=n,則E點一定是AC與BD的交點;
④若m=n,則E點一定在BD上.
其中正確結(jié)論的序號是( 。
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④
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