Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+ x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x= ．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）M為第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，當(dāng)線(xiàn)段CM=CH時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將線(xiàn)段MG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)線(xiàn)段MG與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，在線(xiàn)段GA上是否存在點(diǎn)P，使得以P、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x=﹣ = ，b= ，

∴a=﹣ ，

把A（4，0），a=﹣ 代入y=ax2+ x+c，

可得（ ）×42+ ×4+c=0，

解得c=2，

則拋物線(xiàn)解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：如圖1，連接CM，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥MH于點(diǎn)E，

，

∵y=﹣ x2+ x+2，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），

設(shè)直線(xiàn)AC解析式為y=kx+b（k≠0），

把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，

可得 ，

解得： ，

∴直線(xiàn)AC解析式為y=﹣ x+2，

∵點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)H在AC上，MG⊥x軸，

∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣ m2+ m+2），H（m，﹣ m+2），

∴MH=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+2m，

∵CM=CH，OC=GE=2，

∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣ m+2）]=m，

又∵M(jìn)H=﹣ m2+2m，

∴﹣ m2+2m=m，

即m（m﹣2）=0，

解得m=2或m=0（不符合題意，舍去），

∴m=2，

當(dāng)m=2時(shí)，

y=﹣ ×22+ ×2+2=3，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）

（3）

解：存在點(diǎn)P，使以P，N，G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，理由為：

∵拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A（4，0），A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x= 成軸對(duì)稱(chēng)，

∴B（﹣1，0），

∵AC= =2 ，BC= = ，AB=5，

∴AC2+BC2= + =25，AB2=52=25，

∵AC2+BC2=AB2=25，

∴△ABC為直角三角形，

∴∠ACB=90°，

線(xiàn)段MG繞G點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，當(dāng)NP⊥x軸時(shí)，∠NPG=90°，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（n，0），

則N點(diǎn)坐標(biāo)為（n，﹣ n2+ n+2），

①如圖2，

當(dāng) = 時(shí)，

∵∠N1P1G=∠ACB=90°，

∴△N1P1G∽△ACB，

∴ = ，

解得：n1=3，n2=﹣4（不符合題意，舍去），

∴P的坐標(biāo)為（3，0）．

②當(dāng) = 時(shí)，

∵∠N2P2G=∠BCA=90°，

∴△N2P2G∽△BCA，

∴ ，

解得：n1=1 ，n2=1﹣ （不符合題意，舍去），

∴P的坐標(biāo)為（1+ ，0）．

∴存在點(diǎn)P（3，0）或（1 ，0），使以P，N，G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

【解析】（1）首先利用對(duì)稱(chēng)軸公式求出a的值，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的值代入拋物線(xiàn)的解析式，求出c的值，即可確定出拋物線(xiàn)的解析式．（2）首先根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，確定出直線(xiàn)AC解析式為y=﹣ x+2；然后設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣ m2+ m+2），H（m，﹣ m+2），求出MH的值是多少，再根據(jù)CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，據(jù)此求出m的值是多少，再把m的值代入拋物線(xiàn)的解析式，求出y的值，即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）首先判斷出△ABC為直角三角形，然后分兩種情況：①當(dāng) = 時(shí)；②當(dāng) = 時(shí)；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，判斷出是否存在點(diǎn)P，使得以P、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似即可．