【題目】數(shù)學(xué)課上,老師出示了如下框中的題目:

小敏與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答:

1)特殊情況,探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)EAB的中點(diǎn)時(shí),如圖1,確定線段AEDB的大小關(guān)系.請(qǐng)你直接寫出結(jié)論:AE_______DB(填“>”,“<”或“=”).

2)特例啟發(fā),解答題目

解:題目中,AEDB的大小關(guān)系是:AE   DB(填“>”,“<”或“=”)理由如下:如圖2,過點(diǎn)EEFBC,交AC于點(diǎn)F,(請(qǐng)你接著繼續(xù)完成以下解答過程)

3)拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在直線上AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且EDEC.若△ABC的邊長(zhǎng)為3,AE5,求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫出結(jié)果).

【答案】1)=;(2)=,見解析;(3CD的長(zhǎng)是82

【解析】

1)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠BCE=ACE=30°,又根據(jù)ED=EC得到∠D=ECD=30°,可進(jìn)一步得出∠D=DEB,推出BD=BE即可解決問題;
2)作EFBCACF,先證明△AEF為等邊三角形,再證明△DBE≌△EFC即可解決問題;
3)分四種情形:①當(dāng)點(diǎn)EAB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)DCB的延長(zhǎng)線上時(shí),由(2)同理可得BD=AE,再根據(jù)CD=BD+BC即可求出結(jié)果;②當(dāng)點(diǎn)EBA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)DBC的延長(zhǎng)線上時(shí),過AAN⊥BCN,過EEM⊥CDM,先求出CM的長(zhǎng),從而可得出CD的長(zhǎng);③當(dāng)點(diǎn)EAB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)DBC的延長(zhǎng)線上時(shí),由于∠ECD>∠EBC,此時(shí)不存在ECED;④當(dāng)點(diǎn)EBA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)DCB的延長(zhǎng)線上時(shí),有∠ECD>∠EDC,此時(shí)情況不存在.

解:(1)如圖1中,結(jié)論:AE=BD
∵△ABC是等邊三角形,AE=EB
∴∠BCE=ACE=30°,∠ABC=60°,
ED=EC,
∴∠D=ECD=30°,
∵∠EBC=D+BED,
∴∠D=BED=30°,
BD=BE=AE
故答案為:=

2AEDB

理由如下:如圖2,過點(diǎn)EEFBC,交AC于點(diǎn)F,

在等邊△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC60°,ABBCAC,

EFBC

∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,

∴∠AEF=∠AFE=∠BAC60°,

AEAFEF,

ABAEACAF,

BECF

∵∠ABC=∠EDB+BED,∠ACB=∠ECB+FCE

EDEC,

∴∠EDB=∠ECB,

∴∠BED=∠FCE,

在△DBE和△EFC

,

∴△DBE≌△EFCSAS),

DBEF,

AEBD,

故答案為:=.

3)分為四種情況:

①當(dāng)點(diǎn)EAB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)DCB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖:

ABAC3,AE5

同(2)可得BD=AE,

BDAE5,

CD3+58;

②當(dāng)點(diǎn)EBA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)DBC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,過AANBCN,過EEMCDM,

∵等邊三角形ABC,

∴∠AEM=90°-B=30°,

BMBE×3+5)=4,

CMBM-BC431,

EC=ED,EMCD

CD2CM2;

③當(dāng)點(diǎn)EAB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)DBC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,

∵∠ECD>∠EBC(∠EBC120°),而∠ECD不能大于120°,否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理,

∴此時(shí)不存在ECED;

④當(dāng)點(diǎn)EBA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)DCB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,

∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB,

又∵∠ABC=∠ACB60°,

∴∠ECD>∠EDC,

即此時(shí)ED≠EC

∴此時(shí)情況不存在,

綜上所述:CD的長(zhǎng)是82

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】問題提出

1)如圖①,在中,,,則的周長(zhǎng)為_________;

問題探究

2)如圖②,四邊形中,,,,求四邊形的面積;

問題解決.

3)如圖③,某農(nóng)業(yè)技術(shù)中心為新品種試驗(yàn)而修建了形狀為四邊形的試驗(yàn)田,、是田間小路,點(diǎn)上,點(diǎn)上,,,,其中道路的長(zhǎng)度為100米,計(jì)劃在四個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)種植不同的農(nóng)作物,為及時(shí)了解農(nóng)作物的生長(zhǎng)情況,中心決定在點(diǎn)、處各架設(shè)監(jiān)控器一臺(tái),處的監(jiān)控器的觀察范圍為處的監(jiān)控器的觀察范圍為,經(jīng)測(cè)量,,,請(qǐng)?zhí)骄克倪呅?/span>區(qū)域的面積是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出它的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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③若線段AB的所有等角點(diǎn)都在△MON內(nèi)部,則t的取值范圍是   

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