Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下框中的題目：

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，（請(qǐng)你接著繼續(xù)完成以下解答過程）

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線上AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為3，AE＝5，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）＝，見解析；（3）CD的長(zhǎng)是8或2

【解析】

（1）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠BCE=∠ACE=30°，又根據(jù)ED=EC得到∠D=∠ECD=30°，可進(jìn)一步得出∠D=∠DEB，推出BD=BE即可解決問題；
（2）作EF∥BC交AC于F，先證明△AEF為等邊三角形，再證明△DBE≌△EFC即可解決問題；
（3）分四種情形：①當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）同理可得BD=AE，再根據(jù)CD=BD+BC即可求出結(jié)果；②當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，先求出CM的長(zhǎng)，從而可得出CD的長(zhǎng)；③當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由于∠ECD＞∠EBC，此時(shí)不存在EC＝ED；④當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，有∠ECD＞∠EDC，此時(shí)情況不存在．

解：（1）如圖1中，結(jié)論：AE=BD．
∵△ABC是等邊三角形，AE=EB，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE=AE．
故答案為：=．

（2）AE＝DB．

理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，

在等邊△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，

∴∠AEF＝∠AFE＝∠BAC＝60°，

∴AE＝AF＝EF，

∴AB﹣AE＝AC﹣AF，

即BE＝CF，

∵∠ABC＝∠EDB+∠BED，∠ACB＝∠ECB+∠FCE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，

∴∠BED＝∠FCE，

在△DBE和△EFC中

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB＝EF，

∴AE＝BD，

故答案為：＝．

（3）分為四種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

∵AB＝AC＝3，AE＝5，

同（2）可得BD=AE，

∴BD＝AE＝5，

∴CD＝3+5＝8；

②當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，

∵等邊三角形ABC，

∴∠AEM=90°-∠B=30°，

∴BM＝BE＝×（3+5）＝4，

∴CM＝BM-BC＝4﹣3＝1，

∵EC=ED，EM⊥CD，

∴CD＝2CM＝2；

③當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理，

∴此時(shí)不存在EC＝ED；

④當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此時(shí)ED≠EC，

∴此時(shí)情況不存在，

綜上所述：CD的長(zhǎng)是8或2．