Question

如圖，拋物線與x軸交于A(-1，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△CDP的面積為，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以A，E，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

如圖，拋物線與x軸交于A(-1，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△CDP的面積為，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以A，E，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解：（1）∵拋物線與x軸交于A(-1，0)、B(4，0)兩點(diǎn)

∴

解得

∴拋物線的解析式為

∴拋物線的對稱軸為直線

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）

又∵CD∥x軸

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3,2）

（2）過點(diǎn)P做PM⊥CD于點(diǎn)M

則S_△CDP=,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3,2）

∴CD=3

又∵S_△CDP=

∴PM=3…

又∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為5或-1

當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為5時

則

此方程無解

當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1時

則

解得

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-1），（，-1）

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-2），（，-2），（0,2）