Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB．過A作AF⊥BD，交BC于G，延長BC至E，使CE=CD．
（1）請指出四邊形ACED的形狀，并證明；
（2）如果BD=8，AG=6，求△BDE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)ABCD是等腰梯形，得出AD=AB=CD=CE，AD∥CE，即可證出四邊形ACED的形狀；
（2））根據(jù)已知條件得出∠ADB=∠ABD，∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠DBC，再根據(jù)BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°，證出△AFB≌△GFB，得出BF和AB的值，再由（1）可得AC∥DE，∠E=∠ACB，在等腰梯形ABCD中，得出∠ACB=∠DBC，∠E=∠DBC=∠ABD．從而證出△ABD∽△DBE，再根據(jù)相似比得出△BDE的面積．
解答：解：（1）四邊形ACED為平行四邊形，
在等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD=CE，AD∥CE，
∴四邊形ACED為平行四邊形．
（2）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，而BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°．
∴△AFB≌△GFB．
∴AF=GF=3．
又∵AG垂直平分BD，
∴BF=4．
在Rt△AFB中，得AB=5．
由（1）可得AC∥DE．
∴∠E=∠ACB．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB，
∵四邊形ADEC是平行四邊形，
∴AC=DE，
∴DE=BD，
∴∠E=∠DBC，
∴∠E=∠DBC=∠ADB=∠ABD，
∴△ABD∽△DBE，
∴=，而S_△ABD=12，
∴S_△BDE=．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進(jìn)行解答是解此題的關(guān)鍵．