Question

已知：關(guān)于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）如果該方程有兩個(gè)不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值；
（3）在（2）的條件下，令y=mx²+（3m+1）x+3，如果當(dāng)x₁=a與x₂=a+n（n≠0）時(shí)有y₁=y₂，求代數(shù)式4a²+12an+5n²+16n+8的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）分類討論：當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為x+3=0，解得x=-3；當(dāng)m≠0時(shí)，計(jì)算判別式得△=（3m-1）²，由于（3m-1）²≥0，則不論m為任何實(shí)數(shù)時(shí)總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以不論m為任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程 mx²+（3m+1）x+3=0總有實(shí)數(shù)根；
（2）先解方程mx²+（3m+1）x+3=0得到x₁=-3，x₂=-

1

m

，由于方程mx²+（3m+1）x+3=0有兩個(gè)不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，易得m=1；
（3）當(dāng)m=1時(shí)得到y(tǒng)=x²+4x+3，當(dāng)x₁=a時(shí)，y₁=a²+4a+3，當(dāng)x₂=a+n時(shí)，y₂=（a+n）²+4（a+n）+3，則a²+4a+3=（a+n）²+4（a+n）+3，變形得 n（2a+n+4）=0，由于n≠0，所以2a=-n-4，然后變形4a²+12an+5n²+16n+8得到（2a）²+2a•6n+5n²+16n+8，再利用整體代入的方法計(jì)算．

解答：（1）證明：當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為x+3=0，此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根 x=-3；
當(dāng)m≠0時(shí)，
∵△=（3m+1）²-12m=9m²-6m+1=（3m-1）²．
∵（3m-1）²≥0，
∴不論m為任何實(shí)數(shù)時(shí)總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
綜上所述，不論m為任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程 mx²+（3m+1）x+3=0總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：當(dāng)m≠0時(shí)，解方程mx²+（3m+1）x+3=0得 x₁=-3，x₂=-

1

m

，
∵方程mx²+（3m+1）x+3=0有兩個(gè)不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，
∴m=1；
（3）解：∵m=1，y=mx²+（3m+1）x+3，
∴y=x²+4x+3，
又∵當(dāng)x₁=a與x₂=a+n（n≠0）時(shí)有y₁=y₂，
∴當(dāng)x₁=a時(shí)，y₁=a²+4a+3，
當(dāng)x₂=a+n時(shí)，y₂=（a+n）²+4（a+n）+3，
∴a²+4a+3=（a+n）²+4（a+n）+3，
化簡(jiǎn)得 2an+n²+4n=0，
即 n（2a+n+4）=0，
又∵n≠0，
∴2a=-n-4，
∴4a²+12an+5n²+16n+8
=（2a）²+2a•6n+5n²+16n+8
=（n+4）²+6n（-n-4）+5n²+16n+8
=24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．