Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=2BC，點D在⊙O上，∠DAO=30°．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O半徑為2，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，證明∠ODC=90°即可解決問題；
（2）如圖，作輔助線，將陰影部分分割為三角形和扇形，分別求兩部分的面積問題即可解決．

解答：解：（1）相切．連接OD、DB，
∵∠DAO=30°，OD=OA，
∴∠DAO=∠ADO=30°，
∴∠BOD=60°；
∵OB=OD，
∴△DOB為等邊三角形，
∴OB=OD=BD，∠BDO=∠OBD=60°，
∵AB=2BC=2OB，
∴BC=OB=BD，
∴∠BDC=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，
∴CD與⊙O相切．
（2）作DE⊥AB于點E，
∵OB=2，∠DOB=60°，
∴DE=

3

，
∴S_陰影=S_△DAO+S_扇形OBD=

1

2

×2×

3

+

60×22π

360

=

3

+

2π

3

．

點評：該題以圓為載體，以切線的判定及求陰影部分的面積為為線索構造而成；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．