Question

如圖，一次函數(shù)y=-x+b與反比例函數(shù)的圖象相交于A（-1,4）、B（4，-1）兩點，直線l⊥x軸于點E（-4,0），與反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象分別相交于點C、D，連接AC、BC

（1）、求出b和k；

（2）、求證：△ACD是等腰直角三角形；

（3）、在y軸上是否存在點P，使，若存在，請求出P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）3，-4；（2）證明見解析；（3）存在，P₁（0，），P₂（0，-）.

【解析】

試題分析：（1）將已知點的坐標(biāo)代入到兩個函數(shù)的解析式即可求得k和b的值；

（2））根據(jù)直線x=-4與一次函數(shù)y=-x+3交于點D，求得點D（-4，7），根據(jù)直線x=-4與反比例函數(shù)y=- 交于點C確定點C（-4，1），從而確定AD=AC，然后根據(jù)勾股定理的逆定理確定△ACD是直角三角形，從而確定△ACD是等腰直角三角形；

（3）過點A作AP₁∥BC，交y軸于P₁，則S_△PBC=S_△ABC，根據(jù)B（4，-1），C（-4，1）確定直線BC的解析式為y=-x，然后設(shè)直線AP₁的解析式為y=-x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=，求得P₁（0， ），作P₁關(guān)于x軸的對稱點P₂，利用S_△P1BC＝S_△P2BCBC=S_△ABC，確定P₂（0，- ）；

試題解析：（1）解：∵一次函數(shù)y=-x+b的圖象經(jīng)過點A（-1，4）

∴-（-1）+b=4，

 即b=3，

又∵反比例函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（-1，4）

∴k=xy=（-1）×4=-4；

（2）證明：∵直線l⊥x軸于點E（-4，0）則直線l解析式為x=-4，

∴直線x=-4與一次函數(shù)y=-x+3交于點D，則D（-4，7）

直線x=-4與反比例函數(shù)y=-交于點C，

則C（-4，1）

過點A作AF⊥直線l于點F，

∵A（-1，4），C（-4，1），D（-4，7）

∴CD=6，AF=3，DF=3，F(xiàn)C=3

又∵∠AFD=∠AFC=90°，

由勾股定理得：AC=AD=3 

又∵AD²+AC²=(3)²+(3)²=36

CD²=6²=36

∴AD²+AC²=CD²

∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，

又∵AD=AC

∴△ACD是等腰直角三角形；

（3）解：過點A作AP₁∥BC，交y軸于P₁，則S_△PBC=S_△ABC

∵B（4，-1），C（-4，1）

∴直線BC的解析式為y=-x

 ∵設(shè)直線AP₁的解析式為y=-x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=，

∴P₁（0，），

∴作P₁關(guān)于x軸的對稱點P₂，則S_△P1BC＝S_△P2BCBC=S_△ABC，

故P₂（0，-）；即存在P₁（0，），P₂（0，-）.

考點: 反比例函數(shù)綜合題