Question

如圖，將兩個(gè)完全一樣含有30°角的直角三角板如圖擺放（點(diǎn)D、B、C在一條直線上），∠A與∠D為30°角，∠ABC與∠DCE為直角．
（1）求證：AN•NE=CN•MN；
（2）連結(jié)AD、AE，若BC=6cm，求四邊形ADCE的面積．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)證明△AMN∽△CEN得到：

AN

CN

=

MN

NE

，則由比例的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）依題意知EC=BC=6cm．則由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”和勾股定理易求DC、AB的長(zhǎng)度．從而求得BD=CD-BC，則由直角三角形的面積公式和直角梯形的面積公式求得S_{四邊形ADCE}=S_△ADB+S_梯形ABCD．

解答：（1）證明：如圖，∵∠ABD=∠DCE=90°，
∴AB∥CE，即AM∥EC，
∴△AMN∽△CEN，
∴

AN

CN

=

MN

NE

，則AN•NE=CN•MN；

（2）如圖，在直角△ABC中，∠ABC=90°，BC=6cm，∠A=30°，
∴AC=2BC=12cm，則根據(jù)勾股定理得到：AB=

AC2-BC2

=6

3

cm．
又∵CD=AB，
∴BD=AB-BC=（6

3

-6）cm，
∴S_{四邊形ADCE}=S_△ADB+S_梯形ABCD=

1

2

AB•BD+

1

2

（EC+AB）•BC=

1

2

×6

3

+

1

2

×（6+6

3

）×6=21

3

+18（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，利用了“割補(bǔ)法”求得的四邊形ADCE的面積．