【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD繞點(diǎn)A(0,6)旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)B落在x軸上時(shí),點(diǎn)C剛好落在反比例函數(shù)(k≠0,x>0)的圖像上.已知sin∠OAB=.
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)反比例函數(shù)的圖像是否經(jīng)過(guò)AD邊的中點(diǎn),并說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2) 不經(jīng)過(guò)AD邊的中點(diǎn),理由見(jiàn)解析;
【解析】
(1)過(guò)C點(diǎn)作CE⊥x軸于E,如圖,利用正弦的定義得到sin∠OAB=,設(shè)OB=,則AB=5,利用勾股定理即可求得,接著證明△AOB≌△BEC得到AO=BE,OB=CE,從而得到C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;
(2)利用平移的方法確定D點(diǎn)坐標(biāo),再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)AD邊的中點(diǎn).
(1)過(guò)C點(diǎn)作CE⊥x軸于E,如圖,
∵A(0,6),
∴OA=6,
在Rt△OAB中,sin∠OAB=,
設(shè)OB=,則AB=5,
∴OA=,
∴,
解得:,即OB=,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),
∵四邊形ABCD為正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBE=90°,
而∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠CBE,
∵∠AOB=∠BEC,∠OAB=∠CBE=90°,AB=BC,
∴△AOB≌△BEC(AAS),
∴AO=BE=6,OB=CE=3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9,3),
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上,
∴,
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為;
(2)反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)AD邊的中點(diǎn).
理由如下:
∵點(diǎn)B向左平移3個(gè)單位,再向上平移6個(gè)單位得到A點(diǎn),
∴點(diǎn)C向左平移3個(gè)單位,再向上平移6個(gè)單位得到D點(diǎn),
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(6,9),
∴線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),即(3,3.5),
∵當(dāng)x=3時(shí),,
∴反比例函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)AD邊的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年新型冠狀病毒肺炎(,簡(jiǎn)稱為新冠肺炎)疫情在全球蔓延,我們國(guó)家堅(jiān)決打贏這場(chǎng)無(wú)硝煙的人民戰(zhàn)爭(zhēng),我市各單位為同學(xué)們的返校復(fù)學(xué)采取了一系列前所未有的舉措.復(fù)課返校后,為了拉大學(xué)生鍛煉的間距,某學(xué)校決定增購(gòu)適合獨(dú)立訓(xùn)練的兩種體育器材:跳繩和毽子,原來(lái)購(gòu)進(jìn)根跳繩和個(gè)毽子共需元;購(gòu)進(jìn)根跳繩和個(gè)鍵子共需元.
(1)求跳繩和毽子的售價(jià)原來(lái)分別是多少元?
(2)學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買跳繩和毽子兩種器材共個(gè),由于受疫情影響,商場(chǎng)決定對(duì)這兩種器材打折銷售,其中跳繩以八折出售,毽子以七五折出售,學(xué)校要求跳繩的數(shù)量不少于毽子數(shù)量的倍,跳繩的數(shù)量不多于根,請(qǐng)你求出學(xué)校花錢最少的購(gòu)買方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCO是正方形,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4).
(1)直線y=mx﹣2恰好把正方形ABCO的面積分成相等的兩部分,則m=_____;
(2)若直線y=mx﹣2與正方形ABCO的邊有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CD與⊙O相切于點(diǎn)E,AD⊥CD于點(diǎn)D.
(1)求證:AE平分∠DAC;
(2)若AB=4,∠ABE=60°,求出圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)種植A、B、C三種樹(shù)苗一共480棵,安排80名工人一天正好完成,已知每名工人只植一種樹(shù)苗,且每名工人每天可植A種樹(shù)苗8棵;或植B種樹(shù)苗6棵,或植C種樹(shù)苗5棵.經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),在整個(gè)過(guò)程中,每棵樹(shù)苗的種植成本如圖所示.設(shè)種植A種樹(shù)苗的工人為x名,種植B種樹(shù)苗的工人為y名.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)種植的總成本為w元,
①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
②若種植的總成本為5600元,從植樹(shù)工人中隨機(jī)采訪一名工人,求采訪到種植C種樹(shù)苗工人的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC如圖放置,反比例函數(shù)的圖像交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,已知A(,0),∠DOE=30°,則k的值為( )
A.B.C.3D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長(zhǎng)為分別是邊上的動(dòng)點(diǎn),和交于點(diǎn).
如圖(1),若為邊的中點(diǎn),, 求的長(zhǎng);
如圖(2),若點(diǎn)在上從向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在.上從向運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),同時(shí)到達(dá)各自終點(diǎn),求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng):
如圖(3), 若分別是邊上的中點(diǎn),與交于點(diǎn),求的正切值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P( x, y1)與Q (x, y2)分別是兩個(gè)函數(shù)圖象C1與C2上的任一點(diǎn). 當(dāng)a ≤ x ≤ b時(shí),有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,則稱這兩個(gè)函數(shù)在a ≤ x ≤ b上是“相鄰函數(shù)”,否則稱它們?cè)?/span>a ≤ x ≤ b上是“非相鄰函數(shù)”.
例如,點(diǎn)P(x, y1)與Q (x, y2)分別是兩個(gè)函數(shù)y = 3x+1與y = 2x - 1圖象上的任一點(diǎn),當(dāng)-3 ≤ x ≤ -1時(shí),y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)y = x + 2,并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性質(zhì),得到該函數(shù)值的范圍是-1 ≤ y ≤ 1,所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,因此這兩個(gè)函數(shù)在-3 ≤ x ≤ -1上是“相鄰函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)y = 3x + 2與y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否為“相鄰函數(shù)”,并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)y = x2 - x與y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相鄰函數(shù)”,求a的取值范圍;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,BE是它的角平分線,∠C=90°,D在AB邊上,以DB為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知∠A=30°,⊙O的半徑為4,求圖中陰影部分的面積.
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