Question

15．兩個反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞1）和y=$\frac{1}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點B，BE⊥x軸于點E，當(dāng)點P在y=$\frac{k}{x}$圖象上運動時，以下結(jié)論：①BA與DC始終平行；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；④△OBA的面積等于四邊形ACEB的面積．其中一定正確的是①③④（填序號）

Answer 1

分析 設(shè)出點P的坐標(biāo)，由此可得出A、C、B、D點的坐標(biāo)，由點的坐標(biāo)即可表示出各線段的長度，根據(jù)線段間的比例關(guān)系即可得出BA∥DC，即①成立；找出當(dāng)PA=PB時，m的值，由此發(fā)現(xiàn)②不一定成立；③根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得出三角形OBD、OAC以及矩形OCPD的面積，分割圖形即可得出S_{四邊形PAOB}=k-1，即③成立；根據(jù)各邊長度計算出S_梯形BECA，結(jié)合三角形的面積公式求出S_△OBA，發(fā)現(xiàn)二者相等，由此得知④成立．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），則點A（m，$\frac{1}{m}$），點C（m，0），點B（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），點D（0，$\frac{k}{m}$），
∴PB=m-$\frac{m}{k}$=$\frac{k-1}{k}m$，PD=m，PA=$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{k-1}{m}$，PD=m，PC=$\frac{k}{m}$，
∵$\frac{PB}{PD}$=$\frac{k-1}{k}$，$\frac{PA}{PC}$=$\frac{k-1}{k}$=$\frac{PB}{PD}$，
∴BA∥DC，①成立；
∵PB=$\frac{k-1}{k}m$，PA=$\frac{k-1}{m}$，
∴當(dāng)m²=k時，PA=PB，②不成立；
S_矩形OCPD=k，S_△OBD=$\frac{1}{2}$，S_△OAC=$\frac{1}{2}$，
S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△OBD-S_△OBD=k-1，
∵k為固定值，
∴③成立；
S_梯形BECA=$\frac{1}{2}$（AC+BE）•EC=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{k}{m}$）•（m-$\frac{m}{k}$）=$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$，S_△OBA=S_{四邊形PAOB}-S_△PAB=k-1-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{m}{k}$）•（$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{m}$）=$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$，
∴S_梯形BECA=S_△OBA，④成立．
綜上可知：一定正確的為①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點P坐標(biāo)，表示出其他各點的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，但運算過程較繁瑣，解決該題型題目時，結(jié)合點的坐標(biāo)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，表示出來圖形各部分的面積是關(guān)鍵．