Question

【題目】對(duì)于△ABC及其邊上的點(diǎn)P，給出如下定義：如果點(diǎn)，，，……,都在△ABC的邊上，且，那么稱點(diǎn)，，，……,為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段，，，……,為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段.

（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn).

①點(diǎn)B，C △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PA，PB △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段；（填“是”或“不是”）

②△ABC關(guān)于點(diǎn)P的兩個(gè)等距點(diǎn)，分別在邊AB，AC上，當(dāng)相應(yīng)的等距線段最短時(shí)，在圖1中畫出線段，；

（2）△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，且PC=1,求線段DC的長；

（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.點(diǎn)P在BC上，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有四個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn).若，直接寫出長的取值范圍.（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）①是，不是；②見解析；（2）DC=1或2；（3）.

【解析】

（1）①根據(jù)閱讀材料中△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)和△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段的定義判斷即可；

②根據(jù)題意，點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，要使相應(yīng)的等距線段最短，只要過點(diǎn)P作AB、AC的垂線段即可；

（2）顯然點(diǎn)D不可能在AB邊上，分點(diǎn)D在等邊△ABC的邊AC、BC上，畫出圖形，然后根據(jù)等距點(diǎn)的概念和等邊三角形的判定與性質(zhì)求解即可；

（3）先求出△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)時(shí)的PC的長，進(jìn)而可得答案.

解：（1）①∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴PB=PC，∴點(diǎn)B、C是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)；

∵PA≠PB，∴線段PA，PB不是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段；

故答案為：是，不是；

②線段，如圖3所示：

（2）顯然，點(diǎn)D不可能在AB邊上，若點(diǎn)D在AC邊上，如圖4所示，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=60°，

∵點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，∴PC=PD，

∴△PCD是等邊三角形，∴CD=PC=1；

若點(diǎn)D在BC邊上，如圖5所示，∵點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，∴PC=PD=1，∴CD=2；

∴DC=1或2；

（3）當(dāng)PM⊥AB且PM=PC時(shí)，如圖6，此時(shí)△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)，

∵∠B＝30°，∴BP=2PM，∴BC=3PC=a，∴；

當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，如圖7所示，此時(shí)△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)，∴；

∴△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有四個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)時(shí)，PC長的取值范圍是：.