Question

（1）方程x^y+1=z的質(zhì)數(shù)解是

 

；
（2）方程

1

x

+

1

y

+

1

z

=a（其中a是整數(shù)x、y、z互不相等）的正整數(shù)解是

 

；
（3）方程

x

+

y

=

2009

的整數(shù)解是

 

．
（4）方程2^a+2^b+2^c+2^d=20.625的整數(shù)解是

 

．

Answer 1

分析：（1）分類(lèi)討論：若z為偶數(shù)，則因?yàn)閦是質(zhì)數(shù)，可得到z=2，則有x^y=1．這樣在整數(shù)范圍內(nèi)必須x=1或y=0，但0、1均非質(zhì)數(shù)，因此z不可能是偶數(shù)，只能是奇數(shù)；當(dāng)z為奇數(shù)時(shí)，由x^y+1=z得x^y為偶數(shù)，由于奇數(shù)的任意次冪是奇數(shù)，故x必為偶數(shù)，但x是質(zhì)數(shù)解，故x=2，此時(shí)方程為2^y+1=z，再討論y的奇偶性即可得到y(tǒng)=2，從而求出z，即可得到所求方程的唯一質(zhì)數(shù)解．
（2）由于x、y、z互不相等的正整數(shù)，故不妨設(shè)x＜y＜z，則x≥1，y≥2，z≥3，則

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

1

1

+

1

2

+

1

2

=2，得到a=1；
由

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

3

x

，即

1

x

＜1＜

3

x

，得到1＜x＜3．從而得到x的值；再由方程

1

y

+

1

z

=

1

2

可推得

1

y

＜

1

y

+

1

z

＜

2

y

，即

1

y

＜

1

2

＜

2

y

，則可確定y的值；最后由

1

3

+

1

z

=

1

2

，得到z的值；由此得到原方程的正整數(shù)解．
（3）因?yàn)?009=7²×41，而41是質(zhì)數(shù)，所以即求方程

x

+

y

=

2009

=7

41

的整數(shù)解，則

x

和

y

與

41

是同類(lèi)二次根式，則求x、y，即求方程a

41

+b

41

=7

41

的解（其中a，b是正整數(shù)），即a+b=7．求出a，b即可通過(guò)

x

=a

41

，

y

=b

41

或

x

=b

41

，

y

=a

41

計(jì)算得到原方程的解．
（4）由于2^a＜20.625＜25，則a＜5，設(shè)d≤c≤b≤a，若a≤3，則b≤2，c≤1，d≤0，從而2^a+2^b+2^c+2^d≤2³+2²+2¹+2⁰＜20.625，所以a=4，若b=3時(shí)原方程不成立；若b=2，則根據(jù)題意得c=-1，d=-3，即得到原方程的解．

解答：解：（1）當(dāng)z為偶數(shù)，
∵z是質(zhì)數(shù)，
∴z=2，即x^y=1．
∴在整數(shù)范圍內(nèi)必須x=1或y=0，但0、1均非質(zhì)數(shù)，
∴z不可能是偶數(shù)，只能是奇數(shù)．
當(dāng)z為奇數(shù)時(shí)，
∵x^y+1=z，
∴x^y為偶數(shù)，而奇數(shù)的任意次冪是奇數(shù)，
∴x必為偶數(shù)，但x是質(zhì)數(shù)解，
∴x=2，此時(shí)方程為2^y+1=z．
而當(dāng)y為奇數(shù)時(shí)，2^y+1是3的倍數(shù)，不為質(zhì)數(shù)，所以y只能是偶數(shù)，即y=2，這時(shí)z=2²+1=5．
所以x=2，y=2，z=5是所求方程的唯一質(zhì)數(shù)解；

（2）∵x、y、z互不相等的正整數(shù)，
∴不妨設(shè)x＜y＜z，則x≥1，y≥2，z≥3，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

1

1

+

1

2

+

1

2

=2，
∴a=1．
又∵

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

3

x

，即

1

x

＜1＜

3

x

，
所以1＜x＜3．故x=2．
又∵方程

1

y

+

1

z

=

1

2

，
∴

1

y

＜

1

y

+

1

z

＜

2

y

，即

1

y

＜

1

2

＜

2

y

，故2＜y＜4，
∴y=3．
∴

1

3

+

1

z

=

1

2

，故z=6；
因此，方程的正整數(shù)解為x=2，y=3，z=6；

（3）∵2009=7²×41，而41是質(zhì)數(shù)，
∴求方程

x

+

y

=

2009

=7

41

的整數(shù)解，則

x

和

y

與

41

是同類(lèi)二次根式，
所以求x、y，即求方程a

41

+b

41

=7

41

的解（其中a，b是正整數(shù)），即a+b=7．
所以可取a=2，5，1，6，3，4；與a相對(duì)應(yīng)的b=5，2，6，1，4，3．于是可求得原方程的解為：

x1=164 y1=1025 ， x2=1025 y2=164 ， x3=41 y3=1476 ， x4=1476 y4=41 ， x5=369 y5=656 ， x6=656 y6=369 ，

（4）∵2^a＜20.625＜25，
∴a＜5，設(shè)d≤c≤b≤a，若a≤3，則b≤2，c≤1，d≤0，從而2^a+2^b+2^c+2^d≤2³+2²+2¹+2⁰＜20.625，
所以a=4，若b=3時(shí)原方程不成立；若b=2，則根據(jù)題意得c=-1，d=-3，
所以原方程的解為a=4，b=2，c=-1，d=-3．
故答案為：x=2，y=2，z=5；所以可取a=2，5，1，6，3，4；

x1=164 y1=1025 ， x2=1025 y2=164 ， x3=41 y3=1476 ， x4=1476 y4=41 ， x5=369 y5=656 ， x6=656 y6=369 ，

；
a=4，b=2，c=-1，d=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了質(zhì)數(shù)和最簡(jiǎn)二次根式的概念以及冪的意義．也考查了運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決方程的整數(shù)解得問(wèn)題．