Question

【題目】如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說(shuō)明理由？

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)出你的理由．

Answer 1

【答案】（1）證OE=OC，OF=OC，推出OE=OF，

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形

【解析】試題分析：

(1)先判斷∠ECF=90°，再利用角平分線，平行線，等腰三角形的關(guān)系得到OE=OC，OF=OC；

(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論，利用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形說(shuō)明.

試題解析：

(1)OE=OF，理由如下：

∵CE，CF分別是∠ACB和∠ACB外角的平分線，

∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠GCF=∠ACG.

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACB+∠ACG=(ACB+∠ACG)=∠BCG=90°.

∵M(jìn)N∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠FEC=∠ACE，∴OE=OC.

同理OF=OC，所以O(shè)E=OF.

(2)由(1)得，OC=OE=OF，所以當(dāng)OA=OC時(shí)，對(duì)角線AC與EF互相平分且相等，而對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，則當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.