Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊以每秒1cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CA邊以每秒2 cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．點(diǎn)P，Q分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q、p停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x cm．
（1）當(dāng)x=

 

秒時(shí)，射線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)四邊形ABPQ的面積為ycm²，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出自變量取值范圍）；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△PDE相似？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于DE垂直平分PQ，所以只要CP=CQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，DE又是頂角的平分線，所以列出方程，求出x=2．
（2）由于四邊形AQPB的形狀不規(guī)則，所以可以用△ABC的面積減去△PQC的面積，而△PQC的面積可以用x表達(dá)，則四邊形AQPB的面積也可以用x表達(dá)出來(lái)．
（3）假設(shè)存在，根據(jù)已知條件，易證△PQC∽△AMC，所以

QC

MC

=

PC

AC

，所以

2x

3

=

6-x

5

，即x=

18

13

．

解答：解：（1）x=2；
當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∵DE⊥PQ，PD=QD，
∴PC=CQ，PC=6-x，CQ=2x，
即6-x=2x，得x=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；

（2）分別過(guò)點(diǎn)Q、A作QN⊥BC，AM⊥BC垂足為M、N．
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，
∴AM=

52-32

=4（cm），
∵QN∥AM，
∴△QNC∽△AMC，
∴

QN

AM

=

CQ

CA

，即

QN

4

=

2x

5

，
∴QN=

8

5

x，
又PC=6-x，
∴S_△PCQ=

1

2

PC•QN=

1

2

(6-x)•

8

5

x，
∴y=S_△ABC-S_△PCQ=

1

2

×6×4-

1

2

(6-x)•

8

5

x，
即y=

4

5

x2-

24

5

x+12；

（3）存在．
理由如下：
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥AC時(shí)△PQC∽△PDE
此時(shí)，△PQC∽△AMC
∴

QC

MC

=

PC

AC

即

2x

3

=

6-x

5

∴x=

18

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題需先證得三角形相似和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再通過(guò)相似形的性質(zhì)，解決問題，全面的考查了相似形的性質(zhì)和判定．