Question

20．已知：如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)為r的等圓⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)P，A是⊙O₁上的一點(diǎn)，BP⊥AP，BP交⊙O₂于點(diǎn)B．求證：AB=2r．

Answer 1

分析 連接O₁O₂，AO₁，BO₂，只要證明四邊形ABO₂O₁是平行四邊形即可解決問題．

解答 證明：連接O₁O₂，AO₁，BO₂
∵⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)P，
∴接O₁O₂經(jīng)過點(diǎn)P，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠APO₁+∠BPO₂=90°，
∵O₁A=O₁P，O₂P=O₂B，
∴∠O₁AP=∠O₁PA，∠O₂PB=∠O₂BP，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AP+∠PAB+∠PBA+∠O₂BP=180°，
∴AO₁∥BO₂，
∵AO₁=BO₂，
∴四邊形ABO₂O₁是平行四邊形，
∴AB=O₁O₂=2r．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相切兩個(gè)圓的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，屬于中考常考題型．