Question

【題目】把函數(shù)C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的圖象繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，得到新函數(shù)C2的圖象，我們稱(chēng)C2是C1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．C2的圖象的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0）．

（1）填空：t的值為　 　（用含m的代數(shù)式表示）

（2）若a＝﹣1，當(dāng)≤x≤t時(shí)，函數(shù)C1的最大值為y1，最小值為y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；

（3）當(dāng)m＝0時(shí)，C2的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)）．與y軸相交于點(diǎn)D．把線段AD原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到它的對(duì)應(yīng)線段A′D′，若線A′D′與C2的圖象有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2m﹣1；（2）C2：y＝x2﹣4x；（3）0＜a或a≥1或a≤﹣．

【解析】

（1）C1：y＝ax22ax3a＝a（x1）24a，頂點(diǎn)（1，4a）圍繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2m1，4a），即可求解；（2）分≤t＜1、1≤t≤、t＞三種情況，分別求解,（3）分a＞0、a＜0兩種情況，分別求解．

解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，

頂點(diǎn)（1，﹣4a）圍繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2m﹣1，4a），

C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x＝2m﹣1，

t＝2m﹣1，

故答案為：2m﹣1；

（2）a＝﹣1時(shí)，

C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，

①當(dāng)≤t＜1時(shí)，

x＝時(shí)，有最小值y2＝，

x＝t時(shí)，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，

則y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，無(wú)解；

②1≤t≤時(shí)，

x＝1時(shí)，有最大值y1＝4，

x＝時(shí)，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，

y1﹣y2＝≠1（舍去）；

③當(dāng)t＞時(shí)，

x＝1時(shí)，有最大值y1＝4，

x＝t時(shí)，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，

y1﹣y2span>＝（t﹣1）2＝1，

解得：t＝0或2（舍去0），

故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；

（3）m＝0，

C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，

點(diǎn)A、B、D、A′、D′的坐標(biāo)分別為（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），

當(dāng)a＞0時(shí)，a越大，則OD越大，則點(diǎn)D′越靠左，

當(dāng)C2過(guò)點(diǎn)A′時(shí)，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，

當(dāng)C2過(guò)點(diǎn)D′時(shí)，同理可得：a＝1，

故：0＜a≤或a≥1；

當(dāng)a＜0時(shí)，

當(dāng)C2過(guò)點(diǎn)D′時(shí)，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，

故：a≤﹣；

綜上，故：0＜a≤或a≥1或a≤﹣．